Haz de módulos

En matemáticas, un haz de O -módulos o simplemente un O -módulo sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U )-módulo y las funciones de restricción F ( U ) →  F ( V ) son compatibles con las funciones de restricción O ( U ) →  O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f por la restricción de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).

El caso estándar es cuando X es un esquema y O su haz de estructura. Si O es el haz constante , entonces un haz de O -módulos es lo mismo que un haz de grupos abelianos (es decir, un haz abeliano ). ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z}}}$

Si X es el espectro primo de un anillo R , entonces cualquier módulo R define un módulo O _X (llamado haz asociado ) de forma natural. De forma similar, si R es un anillo graduado y X es el Proy de R , entonces cualquier módulo graduado define un módulo O _X de forma natural. Los módulos O que surgen de esta manera son ejemplos de haces cuasi-coherentes y, de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todos los haces cuasi-coherentes se obtienen de esta manera.

Los haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . ^[1] Además, esta categoría tiene suficientes inyectivos , ^[2] y en consecuencia se puede definir y se define la cohomología de haces como el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global . ^[3]${\displaystyle \nombre del operador {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma(X,-)}$

• Dado un espacio anillado ( X , O ), si F es un O -submódulo de O , entonces se llama haz de ideales o haz ideal de O , ya que para cada subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un ideal del anillo O ( U ).
• Sea X una variedad suave de dimensión n . Entonces el haz tangente de X es el dual del haz cotangente y el haz canónico es la n -ésima potencia exterior ( determinante ) de .${\displaystyle \Omega_{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \Omega_{X}}$
• Un haz de álgebras es un haz de módulos que también es un haz de anillos.

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son O -módulos, entonces su producto tensorial, denotado por

${\displaystyle F\o veces _{O}G}$o ,${\displaystyle F\o veces G}$

es el módulo O que es el haz asociado al prehaz (Para ver que no se puede evitar la gavillación, calcule las secciones globales de donde O (1) es el haz tortuoso de Serre en un espacio proyectivo). ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _ {O(U)}G(U).}$${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

De manera similar, si F y G son O -módulos, entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

denota el módulo O que es el haz . ^[4] En particular, el módulo O${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _ {O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

se llama módulo dual de F y se denota por . Nota: para cualquier O -módulo E , F , existe un homomorfismo canónico ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

que es un isomorfismo si E es un haz localmente libre de rango finito. En particular, si L es localmente libre de rango uno (tal L se llama haz invertible o fibrado lineal ), ^[5] entonces esto se lee:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

lo que implica que las clases de isomorfismo de haces invertibles forman un grupo. Este grupo se llama grupo de Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología (por el argumento estándar con la cohomología de Čech ). ${\displaystyle \nombre del operador {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

Si E es un haz localmente libre de rango finito, entonces existe una función O -lineal dada por el emparejamiento ; se denomina función traza de E.${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _ {O}(E)\to O}$

Para cualquier O -módulo F , el álgebra tensorial , el álgebra exterior y el álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, la k -ésima potencia exterior

$Estilo de visualización grande ^{k}F$

es el haz asociado al prehaz . Si F es localmente libre de rango n , entonces se denomina fibrado lineal determinante (aunque técnicamente es un haz invertible ) de F , denotado por det( F ). Existe un emparejamiento perfecto natural: ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _ {O(U)}^{k}F(U)}$${\textstyle \cuña grande ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{nr}F\to \det(F).}$

Sea f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un O -módulo, entonces el haz de imágenes directas es un O ' -módulo a través de la función natural O ' → f _* O (dicha función natural es parte de los datos de un morfismo de espacios anillados). $Estilo de visualización f_ {*}F}$

Si G es un módulo O ' , entonces la imagen inversa del módulo de G es el módulo O dado como el producto tensorial de módulos: $Estilo de visualización f^{*}G$

${\displaystyle f^{-1}G\o veces _{f^{-1}O'}O}$

donde es la imagen inversa del haz de G y se obtiene por adjudicación . $estilo de visualización f^{-1}G}$${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

Existe una relación adjunta entre y : para cualquier O -módulo F y O' -módulo G , $estilo de visualización f_ {*}}$${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un módulo O F y un módulo O' E localmente libre de rango finito,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un O -módulo F está generado por secciones globales si existe una sobreyección de O -módulos:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s _i de F tales que las imágenes de s _i en cada tallo F _x generan F _x como O _x -módulo.

Un ejemplo de un haz de este tipo es el asociado en geometría algebraica a un R -módulo M , siendo R cualquier anillo conmutativo , en el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema de Cartan A , cualquier haz coherente en una variedad de Stein está abarcado por secciones globales. (cf. el teorema de Serre A más abajo.) En la teoría de esquemas , una noción relacionada es fibrado lineal amplio . (Por ejemplo, si L es un fibrado lineal amplio, alguna potencia de él es generada por secciones globales.)

Un O -módulo inyectivo es flasque (es decir, todas las funciones de restricción F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivas). ^[6] Dado que un haz flasque es acíclico en la categoría de haces abelianos, esto implica que el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global en la categoría de O -módulos coincide con la i -ésima cohomología del haz habitual en la categoría de haces abelianos. ^[7]${\displaystyle \Gamma(X,-)}$

Sea un módulo sobre un anillo . Pon y escribe . Para cada par , por la propiedad universal de localización, existe una función natural ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle X=\operatorname {Especificación} (A)}$${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\nombre del operador {Espec} (A[f^{-1}])}$${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho_{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

teniendo la propiedad de que . Entonces ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

es un funtor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar ^[8] que es de hecho un haz B (es decir, satisface el axioma de pegado) y por lo tanto define el haz en X llamado el haz asociado a M . ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

El ejemplo más básico es la estructura haz en X ; es decir, . Además, tiene la estructura de -módulo y por lo tanto se obtiene el funtor exacto de Mod _A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre . Define una equivalencia de Mod _A a la categoría de haces cuasi-coherentes en X , con el inverso , el funtor de sección global . Cuando X es noetheriano , el funtor es una equivalencia de la categoría de A -módulos generados finitamente a la categoría de haces coherentes en X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualquier A -módulo M , N , y cualquier morfismo , ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Para cualquier ideal primo p de A , como O _p = A _p -módulo.${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Si M se presenta finitamente , . ^[10]${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, ya que la equivalencia entre Mod _A y la categoría de haces cuasi-coherentes en X .
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11] en particular, tomando una suma directa y ~ conmuta.
• Una secuencia de módulos A es exacta si y solo si la secuencia inducida por es exacta. En particular, .${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$

Existe un análogo graduado de la construcción y equivalencia de la sección precedente. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R ₀ -álgebra ( R ₀ significa la pieza de grado cero) y M un R -módulo graduado . Sea X el Proy de R (por lo que X es un esquema proyectivo si R es noetheriano). Entonces existe un O -módulo tal que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

como haces de módulos en el esquema afín ; ^[12] de hecho, esto se define mediante pegado. ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Ejemplo : Sea R (1) el módulo R graduado dado por R (1) _n = R _{n +1} . Entonces se denomina haz tortuoso de Serre , que es el dual del fibrado lineal tautológico si R es finitamente generado en grado uno. ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

Si F es un O -módulo en X , entonces, escribiendo , hay un homomorfismo canónico: ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

lo cual es un isomorfismo si y sólo si F es cuasi-coherente.

La cohomología de haces tiene fama de ser difícil de calcular. Por ello, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:

El teorema de desaparición de Serre ^[13] establece que si X es una variedad proyectiva y F un haz coherente en ella, entonces, para un valor n suficientemente grande , la torsión de Serre F ( n ) se genera mediante un número finito de secciones globales. Además,

1. Para cada i , H ⁱ ( X , F ) se genera finitamente sobre R ₀ , y
2. Existe un entero n ₀ , que depende de F , tal que $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

Sea ( X , O ) un espacio anillado, y sean F , H haces de O -módulos en X . Una extensión de H por F es una secuencia corta exacta de O -módulos

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. suma de Baer ), que es isomorfo al grupo Ext , donde el elemento identidad en corresponde a la extensión trivial. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

En el caso donde H es O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

ya que ambos lados son los funtores derivados derechos del mismo funtor${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Nota : Algunos autores, especialmente Hartshorne, omiten el subíndice O.

Supongamos que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Sean F , G haces coherentes sobre X e i un entero. Entonces existe n ₀ tal que

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$. ^[17]

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$se puede calcular fácilmente para cualquier haz coherente utilizando una resolución localmente libre: ^[18] dado un complejo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

entonces

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

por eso

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Consideremos una hipersuperficie lisa de grado . Luego, podemos calcular una resolución ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

y encuentra que

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Considere el esquema

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

donde es una intersección completa y suave y , . Tenemos un complejo ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$${\displaystyle \deg(f)=d}$${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

resolviendo lo cual podemos utilizar para calcular . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

• Módulo D (en lugar de O , también se puede considerar D , el conjunto de operadores diferenciales).
• ideal fraccionario
• paquete de vectores holomórficos
• libertad genérica

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan (2021). Paquetes Ulrich. doi :10.1515/9783110647686. ISBN 9783110647686.
• "Enlaces con la cohomología de haces". Cohomología local . 2012. págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN . 9780521513630.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874