Lema de Shephard

El lema de Shephard es un resultado importante en microeconomía que tiene aplicaciones en la teoría de la empresa y en la elección del consumidor . ^[1] El lema establece que si las curvas de indiferencia de la función de gasto o costo son convexas , entonces el punto de minimización de costos de un bien dado ( ) con precio es único. La idea es que un consumidor comprará una cantidad ideal única de cada artículo para minimizar el precio y obtener un cierto nivel de utilidad dado el precio de los bienes en el mercado . ${\estilo de visualización i}$ $estilo de visualización p_{i}}$

El lema recibe su nombre de Ronald Shephard , quien presentó una prueba utilizando la fórmula de la distancia en su libro Theory of Cost and Production Functions (Princeton University Press, 1953). El resultado equivalente en el contexto de la teoría del consumidor fue obtenido por primera vez por Lionel W. McKenzie en 1957. ^[2] Afirma que las derivadas parciales de la función de gasto con respecto a los precios de los bienes son iguales a las funciones de demanda hicksianas para los bienes relevantes. Resultados similares ya habían sido obtenidos por John Hicks (1939) y Paul Samuelson (1947).

En la teoría del consumidor , el lema de Shephard establece que la demanda de un bien particular para un nivel de utilidad dado y precios dados , es igual a la derivada de la función de gasto con respecto al precio del bien relevante: ${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización u}$${\displaystyle \mathbf {p}}$

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$

donde es la demanda hicksiana del bien , es la función de gasto , y ambas funciones están en términos de precios (un vector ) y utilidad . ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle e(\mathbf {p},u)}$ ${\displaystyle \mathbf {p}}$${\estilo de visualización u}$

De la misma manera, en la teoría de la empresa , el lema da una formulación similar para la demanda condicional de factores para cada factor de insumo: la derivada de la función de costo con respecto al precio del factor: ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$

${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)={\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y)}{\partial w_{i}}}}$

donde es la demanda condicional del factor de entrada , es la función de costo, y ambas funciones están en términos de precios de los factores (un vector ) y de la producción . ${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle y}$

Aunque la prueba original de Shephard utilizó la fórmula de la distancia, las pruebas modernas del lema de Shephard utilizan el teorema de la envolvente . ^[3]

La prueba se establece para el caso de dos bienes para facilitar la notación. La función de gasto es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizado por el siguiente lagrangiano: ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda (u-U(x_{1},x_{2}))}$

Por el teorema de la envolvente las derivadas de la función valor con respecto al parámetro son: ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)}$${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial e}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p_{1}}}=x_{1}^{h}}$

donde es el minimizador (es decir, la función de demanda hicksiana para el bien 1). Esto completa la prueba. ${\displaystyle x_{1}^{h}}$

El lema de Shephard establece una relación entre las funciones de gasto (o de costo) y la demanda hicksiana. El lema puede reexpresarse como la identidad de Roy , que establece una relación entre una función de utilidad indirecta y una función de demanda marshalliana correspondiente .

• Lema de Hotelling
• Preferencias convexas

• Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). "Introducción a la teoría de la dualidad". Optimización y teoría de la estabilidad para el análisis económico . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 117–133. ISBN 0-521-33605-8.