Transformada wavelet estacionaria

La transformada wavelet estacionaria ( SWT ) ^{[ 1 ]} es un algoritmo de transformada wavelet diseñado para superar la falta de invariancia traslacional de la transformada wavelet discreta (DWT). La invariancia traslacional se logra eliminando los submuestreadores y sobremuestreadores en la DWT y sobremuestreando los coeficientes del filtro por un factor de${\displaystyle 2^{(j-1)}}$en el${\displaystyle j}$nivel del algoritmo. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} La SWT es un esquema inherentemente redundante ya que la salida de cada nivel de la SWT contiene el mismo número de muestras que la entrada; por lo tanto, para una descomposición de N niveles hay una redundancia de N en los coeficientes de la ondícula. Este algoritmo es más conocido por la expresión francesa à trous , que significa "con agujeros", que se refiere a la inserción de ceros en los filtros. Fue introducido por Holschneider et al. ^{[ 6 ]}

El algoritmo básico de la transformada discreta de ondículas (DWT) se adapta para generar una transformada estacionaria de ondículas (SWT) independiente del origen. El enfoque de la SWT es sencillo: se aplican filtros de paso alto y paso bajo adecuados a los datos en cada nivel, lo que genera dos secuencias en el nivel subsiguiente. Sin emplear técnicas de submuestreo , la longitud de las nuevas secuencias se mantiene igual que la de las secuencias originales. En lugar de emplear una decimación similar a la de la transformada de ondículas estándar, que elimina elementos, los filtros en cada nivel se ajustan mediante relleno con ceros, como se explica a continuación: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {Zx}_{2j}=x_{j},\ {Zx}_{2j+1}=0}$para todos los números enteros${\displaystyle j}$

${\displaystyle D_{0}^{r}H^{\left[r\right]}=HD_{0}^{r}}$

${\displaystyle D_{0}^{r}G^{\left[r\right]}=GD_{0}^{r}}$

dónde${\displaystyle Z}$es el operador que intercala una secuencia dada con ceros, para todos los números enteros.${\displaystyle j}$.

${\displaystyle D_{0}^{r}}$es el operador de decimación binaria

${\displaystyle H^{\left[r\right]}}$es un filtro con pesos${\displaystyle {h_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}}$y${\displaystyle h_{k}^{\left[r\right]}=0}$si${\displaystyle k}$no es un múltiplo de${\displaystyle 2^{r}.}$

${\displaystyle G^{\left[r\right]}}$es un filtro con pesos${\displaystyle {g_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}}$y${\displaystyle g_{k}^{\left[r\right]}=0}$si${\displaystyle k}$no es un múltiplo de${\displaystyle 2^{r}.}$

El diseño de los filtros${\displaystyle H^{\left[r\right]}}$y${\displaystyle G^{\left[r\right]}}$implica insertar un cero entre cada par de elementos adyacentes en el filtro.${\displaystyle H^{\left[r-1\right]}}$y${\displaystyle G^{\left[r-1\right]}}$respectivamente.

La designación de${\displaystyle a^{J}}$como la secuencia original${\displaystyle c^{J}}$es necesario antes de definir la transformada wavelet estacionaria.

${\displaystyle a^{j-1}=H^{\left[Jj\right]}a^{j}}$, para${\displaystyle j=J,J-1,\ \ldots \ ,1\ }$

${\displaystyle b^{j-1}=G^{\left[Jj\right]}a^{j}}$, para${\displaystyle j=J,J-1,\ \ldots \ ,1}$

dónde${\displaystyle a^{j}=b^{j}}$, dada la longitud de${\displaystyle a^{j}}$es${\displaystyle 2^{J}}$

El siguiente diagrama de bloques muestra la implementación digital de SWT.

En el diagrama anterior, los filtros de cada nivel son versiones con mayor resolución del filtro anterior (véase la figura siguiente).

A continuación se especifican algunas aplicaciones de SWT.

Aquí hay un ejemplo de aplicación de la transformada wavelet estacionaria a la señal chirp, codificada en Python :

1. Instala los paquetes necesarios para Python.

   pip install numpy pip install matplotlib pip install pywt

2. Importar bibliotecas en Python

   import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimportar pywt

3. Código principal

   # Generando una señal de chirridot = np.linspace ( 0 , 1 , 1000 , endpoint = False )​​frecuencia = 10 + 20 * tseñal_chirrido = np . sin ( 2 * np . pi * frecuencia * t )# Realizar la transformada wavelet estacionaria (SWT)wavelet = "db1" # Wavelet de Daubechiesnivel = 3 # Nivel de descomposicióncoeffs = pywt . swt ( chirp_signal , wavelet , level ) # Coeficientes# Graficar la señal chirriante originalplt.figure ( figsize = ( 12 , 6 ) )​plt.subplot ( nivel + 2 , 1 , 1 )​​plt.plot ( t , chirp_signal )​​plt.title ( "Señal de chirrido original " )plt.legend ( )​# Graficar los coeficientes SWTpara i en rango ( nivel ):plt.subplot ( level + 2 , 1 , i + 2 )​​plt.plot ( t , coeffs [ i ] [ 0 ] )plt.plot ( t , coeffs [ i ] [ 1 ] )plt.title ( f " Coeficientes SWT - Nivel { i } " )plt.tight_layout ( )​plt.show ( )​

4. Producción

   

• Transformada wavelet redundante
• Algoritmo a prueba
• Transformada wavelet cuasicontinua
• Transformada wavelet invariante a la traslación
• Transformada wavelet invariante a la traslación
• Ciclo de spinning
• Transformada wavelet de superposición máxima (MODWT)
• Transformada wavelet no diezmada (UWT)

• Descomposición de paquetes de ondículas
• transformada wavelet