Correspondencia de Shimura

En teoría de números , la correspondencia de Shimura es una correspondencia entre formas modulares F de peso entero medio k + 1/2 y formas modulares f de peso par 2k , descubierta por Goro Shimura ( 1973 ) . Tiene la propiedad de que el valor propio de un operador de Hecke T _{n ²} en F es igual al valor propio de T _n en f . 

Dejar${\displaystyle f}$ser una forma de cúspide holomorfa con peso${\displaystyle (2k+1)/2}$y carácter${\displaystyle \chi }$. Para cualquier número primo p , sea

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^{2}p^{2k-1-2s})^{-1}\ ,}$

dónde ${\displaystyle \omega _{p}}$son los autovalores de los operadores de Hecke${\displaystyle T(p^{2})}$determinado por p .

Utilizando la ecuación funcional de la función L , Shimura demostró que

${\displaystyle F(z)=\sum _ {n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}}$

es una función modular holomorfa con peso 2k y carácter${\displaystyle \chi ^{2}}$.

La demostración de Shimura utiliza la convolución de Rankin-Selberg de${\displaystyle f(z)}$con la serie theta${\displaystyle \theta _{\psi }(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\psi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}\ ({\scriptstyle \nu ={\frac {1-\psi (-1)}{2}}})}$para varios personajes de Dirichlet${\displaystyle \psi }$Luego aplica el teorema inverso de Weil .

• Correspondencia Theta

• Bump, D. (2001) [1994], "Correspondencia de Shimura" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Shimura, Goro (1973), "Sobre formas modulares de peso semi-entero", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 97 (3): 440– 481, doi : 10.2307/1970831 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970831 , MR 0332663