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Shulba Sutras

Los Shulva Sutras o Śulbasūtras ( sánscrito : शुल्बसूत्र; śulba : "cuerda, cordel, soga") son textos sutras que pertenecen al ritual Śrauta y contienen geometría relacionada con...

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Los Shulva Sutras o Śulbasūtras ( sánscrito : शुल्बसूत्र; śulba : "cuerda, cordel, soga") son textos sutras que pertenecen al ritual Śrauta y contienen geometría relacionada con la construcción de altares de fuego .

Propósito y orígenes

Vedi con forma de halcón excavado en Purola, Uttarkashi; probablemente perteneciente al período Kuninda (150 a. C. - 250 d. C.).
Transformar un cuadrado en un círculo (de la misma área), como sugiere Bodhāyana, en un texto contenido en los Sutras Śulba.

Los Shulba Sutras forman parte del corpus más amplio de textos denominado Shrauta Sutras , considerados apéndices de los Vedas . Son las únicas fuentes de conocimiento de las matemáticas indias del período védico . Las formas únicas de los Vedis (altares de fuego) se asociaban con dones únicos de los dioses. Por ejemplo, «quien desee el cielo debe construir un altar de fuego con forma de halcón»; «quien desee conquistar el mundo de Brahman debe construir un altar de fuego con forma de tortuga» y «quienes deseen destruir a los enemigos presentes y futuros deben construir un altar de fuego con forma de rombo». [ 1 ]

Los cuatro principales Shulba Sutras, que son los más significativos desde el punto de vista matemático, son los atribuidos a Baudhayana , Manava , Apastamba y Katyayana . [ 2 ] Su idioma es sánscrito védico tardío , lo que apunta a una composición aproximadamente durante el primer milenio a . C. [ 2 ] El más antiguo es el sutra atribuido a (Baudhayana, Manava y Apstambha), posiblemente compilado entre el 800 a. C. y el 500 a. C. [ 2 ] Pingree afirma que el Apastamba es probablemente el siguiente más antiguo; sitúa al Katyayana y al Manava en tercer y cuarto lugar cronológicamente, basándose en préstamos aparentes. [ 3 ] Según la historiadora matemática Kim Plofker , el Katyayana fue compuesto después de "la gran codificación gramatical del sánscrito por Pāṇini probablemente a mediados del siglo IV a. C.", pero sitúa al Manava en el mismo período que el Baudhayana. [ 4 ]

Con respecto a la composición de los textos védicos, Plofker escribe:

La veneración védica del sánscrito como lengua sagrada, cuyos textos divinamente revelados estaban destinados a ser recitados, escuchados y memorizados en lugar de transmitidos por escrito, contribuyó a dar forma a la literatura sánscrita en general. ... Así, los textos se componían en formatos que podían memorizarse fácilmente: ya fueran aforismos en prosa condensados ​​( sūtras, palabra que más tarde se aplicó para referirse a una regla o algoritmo en general) o versos, particularmente en el período clásico. Naturalmente, la facilidad de memorización a veces interfería con la facilidad de comprensión. Como resultado, la mayoría de los tratados se complementaban con uno o más comentarios en prosa... [ 5 ]

Hay múltiples comentarios para cada uno de los Shulba Sutras, pero estos fueron escritos mucho después de las obras originales. El comentario de Sundararāja sobre el Apastamba, por ejemplo, proviene de finales del siglo XV d. C. [ 6 ] y el comentario de Dvārakãnātha sobre el Baudhayana parece tomar prestado de Sundararāja. [ 7 ] Según el filósofo Frits Staal , ciertos aspectos de la tradición descrita en los Shulba Sutras se habrían "transmitido oralmente", y señala lugares en el sur de la India donde el ritual del altar de fuego todavía se practica y se conserva una tradición oral. [ 8 ] Sin embargo, la tradición del altar de fuego prácticamente desapareció en la India, y Plofker advierte que aquellos focos donde la práctica aún persiste pueden reflejar un resurgimiento védico posterior en lugar de una tradición ininterrumpida. [ 4 ] La evidencia arqueológica de las construcciones de altares descritas en los Shulba Sutras es escasa. Un gran altar de fuego con forma de halcón ( śyenaciti ), que data del siglo II a. C., fue hallado en las excavaciones de 1957-59 realizadas por GR Sharma en Kausambi , [ 9 ] pero este altar no se ajusta a las dimensiones prescritas por los Shulba Sutras. [ 3 ] [ 10 ]

Portada del tratado de Śulbasūtra, escrito por el matemático indio Kātyāyana alrededor del siglo II a. C.

Es probable que el contenido de los Shulba Sutras sea anterior a las obras mismas. El Satapatha Brahmana y el Taittiriya Samhita , cuyos contenidos datan de finales del segundo milenio o principios del primer milenio a. C., describen altares cuyas dimensiones parecen basarse en el triángulo rectángulo con lados de 15 pada y 36 pada , uno de los triángulos enumerados en el Baudhayana Shulba Sutra. [ 11 ] [ 12 ]

El origen de las matemáticas en los Shulba Sutras es desconocido. Es posible, como propone el historiador matemático Radha Charan Gupta , que la geometría se desarrollara para satisfacer las necesidades del ritual. [ 13 ] Algunos estudiosos van más allá: Staal plantea la hipótesis de un origen ritual común para la geometría india y griega, citando un interés y un enfoque similares hacia la duplicación y otros problemas de transformación geométrica. [ 14 ] Abraham Seidenberg , seguido por Bartel Leendert van der Waerden , ve un origen ritual para las matemáticas en un sentido más amplio, postulando que los avances más importantes, como el descubrimiento del teorema de Pitágoras, ocurrieron en un solo lugar y se difundieron desde allí al resto del mundo. [ 15 ] [ 16 ] Van der Waerden menciona que el autor de los Shulba Sutras existió antes del 600 a. C. y no pudo haber sido influenciado por la geometría griega. [ 17 ] [ 18 ] Si bien el historiador Carl Benjamin Boyer menciona las matemáticas paleobabilónicas (c. 2000 a. C. – 1600 a. C.) como un posible origen, la tablilla Plimpton 322 , c. 1800 a. C. , que contiene una tabla de ternas, también afirma que los sutras Shulba contienen una fórmula que no se encuentra en las fuentes babilónicas. [ 19 ] [ 1 ] Seidenberg argumenta que o bien «la antigua Babilonia obtuvo el teorema de Pitágoras de la India, o bien la antigua Babilonia y la India lo obtuvieron de una tercera fuente». Seidenberg sugiere que esta fuente podría ser sumeria y podría ser anterior al 1700 a. C. [ 20 ] En contraste, Pingree advierte que «sería un error ver en las obras [de los constructores de altares] el origen único de la geometría; otros en la India y en otros lugares, ya sea en respuesta a problemas prácticos o teóricos, bien podrían haber avanzado tanto sin que sus soluciones se hubieran memorizado o finalmente transcrito en manuscritos». [ 21 ] Plofker también plantea la posibilidad de que "el conocimiento geométrico existente [fuera] incorporado conscientemente a la práctica ritual". [ 22 ]

Lista de Shulba Sutras

  1. Apastamba
  2. Baudhayana
  3. Manava
  4. Katyayana
  5. Maitrayaniya (algo similar al texto de Manava)
  6. Varaha (en manuscrito)
  7. Vadhula (en manuscrito)
  8. Hiranyakeshin (similar a Apastamba Shulba Sutras)

Matemáticas

Teorema de Pitágoras y ternas pitagóricas

Los sutras contienen enunciados del teorema de Pitágoras , tanto en el caso de un triángulo rectángulo isósceles como en el caso general, así como listas de ternas pitagóricas . [ 23 ] En Baudhayana, por ejemplo, las reglas se dan de la siguiente manera:

1.9. La diagonal de un cuadrado produce el doble de su área. [...] 1.12. Las áreas [de los cuadrados] producidas por separado por las longitudes y la anchura de un rectángulo juntas son iguales al área [del cuadrado] producida por la diagonal. 1.13. Esto se observa en rectángulos con lados de 3 y 4, 12 y 5, 15 y 8, 7 y 24, 12 y 35, 15 y 36. [ 24 ]

De manera similar, las reglas de Apastamba para construir ángulos rectos en altares de fuego utilizan las siguientes ternas pitagóricas: [ 25 ] [ 26 ]

  • (3,4,5){\displaystyle (3,4,5)}
  • (5,12,13){\displaystyle (5,12,13)}
  • (8,15,17){\displaystyle (8,15,17)}
  • (12,35,37){\displaystyle (12,35,37)}

Además, los sutras describen procedimientos para construir un cuadrado con un área igual a la suma o a la diferencia de dos cuadrados dados. Ambas construcciones se realizan considerando que el cuadrado mayor es el cuadrado situado en la diagonal de un rectángulo, y que los dos cuadrados menores son los cuadrados situados en los lados de dicho rectángulo. La afirmación de que cada procedimiento produce un cuadrado del área deseada es equivalente al enunciado del teorema de Pitágoras. Otra construcción produce un cuadrado con un área igual a la de un rectángulo dado. El procedimiento consiste en recortar un trozo rectangular del extremo del rectángulo y pegarlo al lateral para formar un gnomon con un área igual a la del rectángulo original. Dado que un gnomon es la diferencia de dos cuadrados, el problema puede resolverse utilizando una de las construcciones anteriores. [ 27 ]

Geometría

El Baudhayana Shulba Sutra proporciona la construcción de figuras geométricas como cuadrados y rectángulos. [ 28 ] También proporciona, a veces de forma aproximada, transformaciones geométricas que conservan el área de una figura geométrica a otra. Estas incluyen la transformación de un cuadrado en un rectángulo , un trapecio isósceles , un triángulo isósceles , un rombo y un círculo , y la transformación de un círculo en un cuadrado. [ 28 ] En estos textos, las aproximaciones, como la transformación de un círculo en un cuadrado, aparecen junto a afirmaciones más precisas. Como ejemplo, la afirmación de rodear un cuadrado se da en Baudhayana como:

2.9. Si se desea transformar un cuadrado en un círculo, se estira una cuerda de longitud equivalente a la mitad de la diagonal del cuadrado desde el centro hacia el este (una parte de la cuerda queda fuera del lado este del cuadrado); al resto de la media diagonal se le suma un tercio de la parte que queda fuera, y así se dibuja el círculo deseado. [ 29 ]

y la expresión para cuadrar el círculo se da como:

2.10. Para transformar un círculo en un cuadrado, el diámetro se divide en ocho partes; una de esas partes, después de ser dividida en veintinueve, se reduce en veintiocho de ellas y, además, en la sexta parte restante menos la octava parte de la sexta. 2.11. Alternativamente, se divide el diámetro en quince partes y se reduce en dos; esto da el lado aproximado del cuadrado deseado. [ 29 ]

Las construcciones en 2.9 y 2.10 dan un valor de π de 3.088, mientras que la construcción en 2.11 da π de 3.004. [ 30 ]

raíces cuadradas

La construcción del altar también condujo a una estimación de la raíz cuadrada de 2 , como se encuentra en tres de los sutras. En el sutra Baudhayana aparece como:

2.12. La medida se incrementará en su tercio, y este tercio, a su vez, en su cuarto menos la trigésimo cuarta parte de ese cuarto; esto es el valor de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es la medida. [ 29 ]

lo que lleva a que el valor de la raíz cuadrada de dos sea:

2≈1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408=1.4142...{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...}[ 31 ] [ 32 ]

De hecho, en algunos Sutras se puede encontrar un método antiguo para calcular raíces cuadradas ; dicho método implica la fórmula recursiva :incógnita≈incógnita−1+12⋅incógnita−1{\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}}para valores grandes de x, que se basa en la identidad no recursivaa2+r≈a+r2⋅a{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}}para valores de r extremadamente pequeños en relación con a .

También se ha sugerido, por ejemplo por Bürk [ 33 ], que esta aproximación de √2 implica el conocimiento de que √2 es irracional . En su traducción de los Elementos de Euclides , Heath describe una serie de hitos necesarios para que se considere que se ha descubierto la irracionalidad, y señala la falta de evidencia de que las matemáticas indias hubieran alcanzado esos hitos en la época de los Shulba Sutras. [ 34 ]

Véase también

Citas y notas al pie

  1. 1 2 Plofker (2007) , p. 387, "Ciertas formas y tamaños de altares de fuego se asociaban con dones particulares que el sacrificador deseaba de los dioses: 'quien desea el cielo debe construir un altar de fuego con forma de halcón'; 'un altar de fuego con forma de tortuga debe ser construido por quien desea ganar el mundo de Brahman'; 'quienes desean destruir a los enemigos existentes y futuros deben construir un altar de fuego con forma de rombo' [Sen y Bag 1983, 86, 98, 111]."
  2. 1 2 3 Plofker (2007) , pág. 387
  3. 1 2 Pingree (1981) , pág. 4
  4. 1 2 Plofker (2009) , pág. 18
  5. ↑ Plofker (2009) , pág. 11
  6. ↑ Pingree (1981) , pág. 6
  7. ↑ Delire (2009) , pág. 50
  8. ↑ Staal (1999) , pág. 111
  9. ^ Sharma, GR (1960). Excavaciones en Kausambi (1957-59) .
  10. ↑ Plofker (2009) , pág. 19.
  11. ↑ Bürk (1901) , pág. 554
  12. ↑ Heath (1925) , pág. 362
  13. ↑ Gupta (1997) , pág. 154
  14. ↑ Staal (1999) , págs. 106, 109 – 110
  15. ↑ Seidenberg (1978)
  16. ↑ van der Waerden (1983)
  17. ^ Van der Waerden, Barten L (1983). Geometría y Álgebra en las Civilizaciones Antiguas . Springer Verlag. pag. 12.ISBN​  0387121595.
  18. ↑ Joseph, George Gheverghese (1997). "¿Qué es una raíz cuadrada? Un estudio de la representación geométrica en diferentes tradiciones matemáticas". Matemáticas en la escuela . 26 (3): 4– 9. ISSN 0305-7259 . JSTOR 30215281 .  
  19. ↑ Boyer (1991) , pág. 207, "Encontramos reglas para la construcción de ángulos rectos mediante ternas de cuerdas cuyas longitudes forman triadas pitagóricas, como 3, 4 y 5, o 5, 12 y 13, o 8, 15 y 17, o 12, 35 y 37. Sin embargo, todas estas ternas se derivan fácilmente de la antigua regla babilónica; por lo tanto, la influencia mesopotámica en los Sulvasutras no es improbable. Aspastamba sabía que el cuadrado de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados adyacentes, pero esta forma del teorema de Pitágoras también puede haberse derivado de Mesopotamia. ... El origen y el período de los Sulvasutras son tan conjeturales que no podemos determinar si las reglas están relacionadas con la topografía egipcia temprana o con el problema griego posterior de la duplicación de altares. Se fechan de diversas maneras dentro de un intervalo de casi mil años que se extiende desde el siglo VIII a. C. hasta el siglo II a. C. siglo de nuestra era."
  20. ↑ Seidenberg (1983) , pág. 121
  21. ↑ Pingree (1981) , pág. 5
  22. ↑ Plofker (2009) , pág. 17
  23. ↑ Thibaut ( 1875) , págs. 232-238
  24. ↑ Plofker (2007) , págs. 388–389
  25. ↑ Boyer (1991) , pág. 207
  26. ↑ Joseph, GG (2000). The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics . Princeton University Press. p. 229. ISBN  0-691-00659-8.
  27. ↑ Thibaut ( 1875) , págs. 243-246
  28. 1 2 Plofker (2007) , págs. 388-391
  29. 1 2 3 Plofker (2007) , pág. 391
  30. ↑ Plofker (2007) , p. 392, "Las técnicas de 'circulatura' y cuadratura en 2.9 y 2.10, la primera de las cuales se ilustra en la figura 4.4, implican lo que llamaríamos un valor de π de 3.088, [...] La cuadratura en 2.11, por otro lado, sugiere que π = 3.004 (dondes=2r⋅13/15{\displaystyle s=2r\cdot 13/15}), que ya se considera solo 'aproximado'. En 2.12, la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado (nuestro2){\displaystyle {\sqrt {2}})}se considera que es 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 1,4142.
  31. ↑ Plofker (2007) , pág. 392
  32. ↑ Cooke (2005) , pág. 200
  33. ↑ Bürk (1901) , pág. 575
  34. ↑ Heath (1925) , p. 364: «Como dice [Heinrich] Vogt, era necesario pasar por tres etapas antes de descubrir la irracionalidad de la diagonal de un cuadrado en un sentido real. (1) Todos los valores obtenidos mediante la medición directa de cálculos basados ​​en ellos debían reconocerse como inexactos. A continuación, (2) debía surgir la convicción de que era imposible llegar a una expresión aritmética exacta del valor. Y, por último, (3) debía probarse la imposibilidad. Ahora bien, no hay pruebas reales de que los indios, en la fecha en cuestión, hubieran alcanzado siquiera la primera etapa, y mucho menos la segunda o la tercera.»

Referencias

Traducciones

  • «El Śulvasútra de Baudháyana, con el comentario de Dvárakánáthayajvan», de George Thibaut, se publicó en una serie de números de The Pandit, una revista mensual del Colegio de Benarés dedicada a la literatura sánscrita . Cabe destacar que el comentario no está traducido.
    • (1875) 9 (108): 292 – 298
    • (1875 – 1876) 10 (109): 17 – 22 , (110): 44 – 50 , (111): 72 – 74 , (114): 139 – 146 , (115): 166 – 170 , (116): 186 – 194 , (117): 209 – 218
    • (nueva serie) (1876 – 1877) 1 (5): 316 – 322 , (9): 556 – 578 , (10): 626 – 642 , (11): 692 – 706 , (12): 761 – 770
  • «El Śulbapariśishta de Kátyáyana con el comentario de Ráma, hijo de Súryadása», de George Thibaut, se publicó en una serie de números de The Pandit, una revista mensual del Colegio de Benarés dedicada a la literatura sánscrita . Cabe destacar que el comentario no se ha traducido.
    • (nueva serie) (1882) 4 (1 – 4): 94 – 103 , (5 – 8): 328 – 339 , (9 – 10): 382 – 389 , (9 – 10): 487 – 491
  • Bürk, Albert (1902). "Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen" . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en alemán). 56 : 327-391 . Transcripción y análisis en Bürk (1901) .
  • Sen, SN; Bag, AK (1983). Los Sutras Śulba de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava con texto, traducción al inglés y comentarios . Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.