función signo

Aunque la función signo toma el valor − 1 cuando${\displaystyle x}$es negativo, el punto anillado (0, − 1) en el gráfico de${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$indica que este no es el caso cuando${\displaystyle x=0}$En cambio, el valor salta abruptamente al punto sólido en (0, 0) donde${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$Luego hay un salto similar a${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$cuando${\displaystyle x}$es positivo. Cualquiera de los saltos demuestra visualmente que la función de signo${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$es discontinua en cero, aunque es continua en cualquier punto donde${\displaystyle x}$es positivo o negativo.

Estas observaciones se confirman mediante cualquiera de las diversas definiciones formales equivalentes de continuidad en el análisis matemático . Una función${\displaystyle f(x)}$, como${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$es continuo en un punto${\displaystyle x=a}$si el valor${\displaystyle f(a)}$puede aproximarse arbitrariamente cerca mediante la secuencia de valores.${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$donde el${\displaystyle a_{n}}$formar cualquier secuencia infinita que se vuelva arbitrariamente cercana a${\displaystyle a}$como${\displaystyle n}$se vuelve suficientemente grande. En la notación de límites matemáticos , la continuidad de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$requiere que${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$como${\displaystyle n\to \infty }$para cualquier secuencia${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$para qué${\displaystyle a_{n}\to a.}$El símbolo de la flecha puede interpretarse como que se acerca o tiende a , y se aplica a la secuencia en su conjunto.

Este criterio falla para la función signo en${\displaystyle a=0}$Por ejemplo, podemos elegir${\displaystyle a_{n}}$ser la secuencia${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$que tiende a cero como${\displaystyle n}$aumenta hacia el infinito. En este caso,${\displaystyle a_{n}\to a}$según sea necesario, pero${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$y${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$para cada${\displaystyle n,}$de modo que${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$. Este contraejemplo confirma de manera más formal la discontinuidad de${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$en cero que es visible en el gráfico.

A pesar de la simplicidad de la función signo, el cambio brusco en cero dificulta el uso de las técnicas de cálculo tradicionales , que son bastante estrictas en sus requisitos. La continuidad es una restricción frecuente. Una solución consiste en aproximar la función signo mediante una función continua y suave; otras pueden implicar enfoques menos estrictos que se basan en métodos clásicos para abarcar clases de funciones más amplias.

La función signo se puede expresar como una serie de límites diferentes (puntuales): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} x&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctan} (nx)\\&=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$ Aquí,${\displaystyle \tanh }$es la tangente hiperbólica y${\displaystyle \operatorname {arctan} }$es la tangente inversa . La última de estas es la derivada de${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$Esto se inspira en el hecho de que lo anterior es exactamente igual para todos los valores distintos de cero.${\displaystyle x}$si${\displaystyle \varepsilon =0}$y tiene la ventaja de una generalización sencilla a análogos de dimensiones superiores de la función signo (por ejemplo, las derivadas parciales de${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$).

Véase la función escalón de Heaviside §  Aproximaciones analíticas .

La función signo${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$es diferenciable en todas partes excepto cuando${\displaystyle x=0.}$Su derivada es cero cuando${\displaystyle x}$es distinto de cero: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Esto se deduce de la diferenciabilidad de cualquier función constante , para la cual la derivada es siempre cero en su dominio de definición. El signo${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$actúa como una función constante cuando se restringe a la región abierta negativa.${\displaystyle x<0,}$donde es igual a −1 . De manera similar, puede considerarse como una función constante dentro de la región abierta positiva.${\displaystyle x>0,}$donde la constante correspondiente es +1 . Aunque se trata de dos funciones constantes diferentes, su derivada es igual a cero en cada caso.

No es posible definir una derivada clásica en${\displaystyle x=0}$, porque hay una discontinuidad allí.

Debido a que su derivada es 0, la n-ésima derivada de una función multiplicada por la función signo se simplifica a:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{n}\,(\operatorname {sgn}(x)f(x))}{{\text{d}}x^{n}}}=\operatorname {sgn}(x)f^{(n)}(x)\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Aunque no es diferenciable en${\displaystyle x=0}$En el sentido ordinario, bajo la noción generalizada de diferenciación en la teoría de la distribución , la derivada de la función signo es dos veces la función delta de Dirac . Esto se puede demostrar utilizando la identidad ^{[ 2 ].}$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ dónde${\displaystyle H(x)}$es la función escalón de Heaviside utilizando el estándar${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$formalismo. Usando esta identidad, es fácil derivar la derivada distribucional: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

La función signo tiene una integral definida entre cualquier par de valores finitos a y b , incluso cuando el intervalo de integración incluye el cero. La integral resultante para a y b es entonces igual a la diferencia entre sus valores absolutos: $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

De hecho, la función signo es la derivada de la función valor absoluto, excepto cuando hay un cambio abrupto en la pendiente en cero: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

Podemos entender esto como antes considerando la definición de valor absoluto.${\displaystyle |x|}$en las regiones separadas${\displaystyle x>0}$y${\displaystyle x<0.}$Por ejemplo, la función de valor absoluto es idéntica a${\displaystyle x}$en la región${\displaystyle x>0,}$cuya derivada es el valor constante +1 , que es igual al valor de${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$allá.

Debido a que el valor absoluto es una función convexa , hay al menos una subderivada en cada punto, incluido el origen. En todos los puntos excepto en cero, el subgradiente resultante consta de un solo valor, igual al valor de la función signo. Por el contrario, hay muchas subderivadas en cero, de las cuales solo una toma el valor${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$Aquí se produce un valor de subderivada igual a 0 porque la función de valor absoluto está en un mínimo. La familia completa de subderivadas válidas en cero constituye el intervalo subdiferencial.${\displaystyle [-1,1]}$, lo que podría considerarse informalmente como "rellenar" la gráfica de la función signo con una línea vertical que pase por el origen, convirtiéndola en una curva bidimensional continua.

En la teoría de la integración, la función signo es una derivada débil de la función valor absoluto. Las derivadas débiles son equivalentes si son iguales casi en todas partes , lo que las hace inmunes a anomalías aisladas en un solo punto. Esto incluye el cambio en el gradiente de la función valor absoluto en cero, lo que impide la existencia de una derivada clásica.

La antiderivada de una función multiplicada por la función signo es:$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)+B\operatorname {sgn}(x)+C\,,}$$dónde${\textstyle B}$y${\textstyle C}$son constantes de integración . Fuera de la teoría de la distribución,${\textstyle B}$puede tomar cualquier valor, más comúnmente 0. Al considerar la función delta de Dirac ,${\textstyle B}$tiene que ser igual${\textstyle F(0)}$Esto se puede demostrar mediante la integración por partes :$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}\,,}$$dónde${\textstyle \delta (x)}$es la función delta de Dirac. Integrando, se puede obtener la siguiente expresión:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-2F(0)H(x)+C=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\operatorname {sgn}(x)F(0)+C\,,}$

dónde${\textstyle H(x)}$es la función escalón de Heaviside . Dado que${\textstyle F(x)}$ya tiene su propia constante de integración, no relacionada con${\textstyle C}$,${\textstyle F(0)}$puede tomar cualquier valor siempre que esté definido. Si se considera la función delta de Dirac, la constante de integración de${\textstyle F(x)}$tiene que coincidir en ambos términos; de lo contrario, la derivada de la función signo es 0, por lo que se puede multiplicar por cualquier constante en el segundo término.

La transformada de Fourier de la función signo es ^{[ 4 ]}$${\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x={\frac {2}{ik}}\qquad {\text{for }}k\neq 0,}$$ dónde${\displaystyle PV}$significa tomar el valor principal de Cauchy .

La función signo se puede generalizar a números complejos de la siguiente manera: $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ para cualquier número complejo${\displaystyle z}$excepto${\displaystyle z=0}$El signo de un número complejo dado${\displaystyle z}$es el punto en el círculo unitario del plano complejo que está más cerca de${\displaystyle z}$. Entonces, para${\displaystyle z\neq 0}$, $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ dónde${\displaystyle \arg }$es la función de argumento complejo .

Por razones de simetría, y para mantener esta una generalización adecuada de la función signo en los reales, también en el dominio complejo se suele definir, para${\displaystyle z=0}$: $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Otra generalización de la función signo para expresiones reales y complejas es${\displaystyle {\text{csgn}}}$, ^{[ 5 ]} que se define como: $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$es la parte real de${\displaystyle z}$y${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$es la parte imaginaria de${\displaystyle z}$.

Entonces tenemos (para${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\neq 0}$): $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Gracias al teorema de descomposición polar , una matriz${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$(${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$) puede descomponerse como un producto${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$dónde${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$es una matriz unitaria y${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$es una matriz autoadjunta, o hermitiana, definida positiva, tanto en${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$. Si ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$Si es invertible, entonces dicha descomposición es única y ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$desempeña el papel de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$El signo de. Una construcción dual viene dada por la descomposición${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$dónde${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$es unitario, pero generalmente diferente de${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$Esto lleva a que cada matriz invertible tenga un signo izquierdo único .${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$y signo derecho${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$.

En el caso especial donde${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$y la matriz (invertible)${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$, que se identifica con el número complejo (distinto de cero)${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$, entonces las matrices signo satisfacen${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$y se identifican con el signo complejo de${\displaystyle c}$,${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$En este sentido, la descomposición polar generaliza a matrices la descomposición en signo-módulo de los números complejos.

En valores reales de${\displaystyle x}$, es posible definir una función generalizada – versión de la función signo,${\displaystyle \varepsilon (x)}$de tal manera que${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$en todas partes, incluso en el punto${\displaystyle x=0}$, a diferencia de${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, para el cual${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$. This generalized signum allows construction of the algebra of generalized functions, but the price of such generalization is the loss of commutativity. In particular, the generalized signum anticommutes with the Dirac delta function^[6]$${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ in addition, ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ cannot be evaluated at ${\displaystyle x=0}$; and the special name, ${\displaystyle \varepsilon }$ is necessary to distinguish it from the function ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. (${\displaystyle \varepsilon (0)}$ is not defined, but ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$.)