Teoría de la detección

Conceptualmente, la sensibilidad se refiere a la facilidad o dificultad para detectar la presencia de un estímulo objetivo entre los eventos de fondo. Por ejemplo, en un paradigma de memoria de reconocimiento, disponer de más tiempo para estudiar las palabras que se deben recordar facilita el reconocimiento de palabras vistas u oídas previamente. Por el contrario, tener que recordar 30 palabras en lugar de 5 dificulta la discriminación. Una de las estadísticas más utilizadas para calcular la sensibilidad es el denominado índice de sensibilidad o d' . También existen medidas no paramétricas , como el área bajo la curva ROC . ^{[ 6 ]}

El sesgo es el grado en que una respuesta es más probable que otra, promediando entre los casos con y sin estímulo. Es decir, un receptor puede tener mayor probabilidad general de responder que un estímulo está presente o de responder que no lo está. El sesgo es independiente de la sensibilidad. Puede ser deseable si las falsas alarmas y los errores conllevan costos diferentes. Por ejemplo, si el estímulo es un terrorista suicida, un error (no detectar al terrorista) puede ser más costoso que una falsa alarma (informar sobre un terrorista cuando no lo hay), lo que hace deseable un sesgo de respuesta liberal. Por el contrario, dar falsas alarmas con demasiada frecuencia (dar falsas alarmas ) puede hacer que las personas sean menos propensas a responder, un problema que puede mitigarse con un sesgo de respuesta conservador.

Otro campo estrechamente relacionado con la teoría de detección de señales es el de detección comprimida (o muestreo compresivo). Su objetivo es recuperar entidades de alta dimensión pero de baja complejidad a partir de unas pocas mediciones. Por lo tanto, una de las aplicaciones más importantes de la detección comprimida es la recuperación de señales de alta dimensión que se sabe que son dispersas (o casi dispersas) con solo unas pocas mediciones lineales. El número de mediciones necesarias para la recuperación de señales es mucho menor que el requerido por el teorema de muestreo de Nyquist, siempre que la señal sea dispersa, es decir, que contenga solo unos pocos elementos distintos de cero. Existen diferentes métodos de recuperación de señales en la detección comprimida, incluyendo la búsqueda de base , el algoritmo de recuperación de expansión ^{[ 11 ]} , CoSaMP ^{[ 12 ]} y también el algoritmo rápido no iterativo ^{[ 13 ]} . En todos los métodos de recuperación mencionados, la elección de una matriz de medición apropiada mediante construcciones probabilísticas o deterministas es de suma importancia. En otras palabras, las matrices de medición deben satisfacer ciertas condiciones específicas, como la propiedad de isometría restringida ( RIP ) o la propiedad de espacio nulo, para lograr una recuperación dispersa robusta.

En el caso de tomar una decisión entre dos hipótesis , H1 , ausente, y H2 , presente, en caso de una observación particular , y , un enfoque clásico es elegir H1 cuando p(H1|y) > p(H2|y) y H2 en el caso inverso. ^{[ 14 ]} En caso de que las dos probabilidades a posteriori sean iguales, se podría optar por una sola elección por defecto (ya sea elegir siempre H1 o siempre elegir H2 ), o se podría seleccionar aleatoriamente H1 o H2 . Las probabilidades a priori de H1 y H2 pueden guiar esta elección, por ejemplo, eligiendo siempre la hipótesis con la mayor probabilidad a priori .

Al adoptar este enfoque, normalmente lo que se conoce son las probabilidades condicionales, p(y|H1) y p(y|H2) , y las probabilidades a priori.${\displaystyle p(H1)=\pi _ {1}}$y${\displaystyle p(H2)=\pi _ {2}}$. En este caso,

${\displaystyle p(H1|y)={\frac {p(y|H1)\cdot \pi _ {1}}{p(y)}}}$,

${\displaystyle p(H2|y)={\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y)}}}$

donde p(y) es la probabilidad total del evento y ,

${\displaystyle p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}$.

H2 se elige en caso

${\displaystyle {\frac {p(y|H2)\cdot \pi _{2}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}\geq {\frac {p(y|H1)\cdot \pi _{1}}{p(y|H1)\cdot \pi _{1}+p(y|H2)\cdot \pi _{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$

y H1 en caso contrario.

A menudo, la proporción${\displaystyle {\frac {\pi _{1}}{\pi _{2}}}}$se llama${\displaystyle \tau _{MAP}}$y${\displaystyle {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}}$se llama${\displaystyle L(y)}$, la razón de verosimilitud .

Utilizando esta terminología, se elige H2 en caso${\displaystyle L(y)\geq \tau _ {MAPA}}$Esto se denomina prueba MAP, donde MAP significa "máxima a posteriori ".

Adoptar este enfoque minimiza el número esperado de errores que se cometerán.

En algunos casos, es mucho más importante responder adecuadamente a H1 que a H2 . Por ejemplo, si se activa una alarma que indica H1 (un bombardero entrante transporta un arma nuclear ), es mucho más importante derribar el bombardero si H1 = VERDADERO, que evitar enviar un escuadrón de cazas a inspeccionar una falsa alarma (es decir, H1 = FALSO, H2 = VERDADERO) (suponiendo una gran cantidad de escuadrones de cazas). El criterio de Bayes es un enfoque adecuado para estos casos. ^{[ 14 ]}

Aquí se asocia una utilidad a cada una de las cuatro situaciones:

• ${\displaystyle U_{11}}$: Uno responde con un comportamiento apropiado a H1 y H1 es verdadero: los cazas destruyen bombarderos, incurriendo en costos de combustible, mantenimiento y armas, y corren el riesgo de que algunos sean derribados;
• ${\displaystyle U_{12}}$: Uno responde con un comportamiento apropiado para H1 y H2 es verdadero: se envían cazas, incurriendo en costos de combustible y mantenimiento, la ubicación del bombardero permanece desconocida;
• ${\displaystyle U_{21}}$: Uno responde con un comportamiento apropiado para H2 y H1 es verdadero: ciudad destruida;
• ${\displaystyle U_{22}}$: Uno responde con un comportamiento apropiado para H2 y H2 es verdadero: los cazas se quedan en casa, la ubicación de los bombarderos sigue siendo desconocida;

Como se muestra a continuación, lo importante son las diferencias,${\displaystyle U_{11}-U_{21}}$y${\displaystyle U_{22}-U_{12}}$.

De manera similar, hay cuatro probabilidades,${\displaystyle P_{11}}$,${\displaystyle P_{12}}$, etc., para cada uno de los casos (que dependen de la estrategia de decisión de cada uno).

El enfoque del criterio de Bayes consiste en maximizar la utilidad esperada:

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+P_{21}\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+P_{22}\cdot U_{22}}$

${\displaystyle E\{U\}=P_{11}\cdot U_{11}+(1-P_{11})\cdot U_{21}+P_{12}\cdot U_{12}+(1-P_{12})\cdot U_{22}}$

${\ Displaystyle E \ {U \} = U_ {21} + U_ {22} + P_ {11} \ cdot (U_ {11} -U_ {21}) -P_ {12} \ cdot (U_ {22}-U_ {12})}$

En efecto, se puede maximizar la suma,

${\displaystyle U'=P_{11}\cdot (U_{11}-U_{21})-P_{12}\cdot (U_{22}-U_{12})}$,

y realizar las siguientes sustituciones:

${\displaystyle P_{11}=\pi _{1}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H1)\,dy}$

${\displaystyle P_{12}=\pi _{2}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H2)\,dy}$

dónde${\displaystyle \pi _{1}}$y${\displaystyle \pi _{2}}$son las probabilidades a priori ,${\displaystyle P(H1)}$y${\displaystyle P(H2)}$, y${\displaystyle R_{1}}$es la región de eventos de observación, y , a los que se responde como si H1 fuera verdadera.

${\displaystyle \Rightarrow U'=\int _{R_{1}}\left\{\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\right\}\,dy}$

${\displaystyle U'}$y por lo tanto${\displaystyle U}$se maximizan extendiendo${\displaystyle R_{1}}$sobre la región donde

${\displaystyle \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)-\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)>0}$

Esto se logra decidiendo H2 en caso

${\displaystyle \pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})\cdot p(y|H2)\geq \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})\cdot p(y|H1)}$

${\displaystyle \Rightarrow L(y)\equiv {\frac {p(y|H2)}{p(y|H1)}}\geq {\frac {\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{21})}{\pi _{2}\cdot (U_{22}-U_{12})}}\equiv \tau _{B}}$

y H1 en caso contrario, donde L(y) es la razón de verosimilitud así definida .

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