Promediado de señales

En el procesamiento de señales , el promedio de señales es una técnica en el dominio del tiempo que se aplica a señales repetitivas y se utiliza para recuperar formas de onda oscurecidas por ruido aleatorio. Al promediar un conjunto de mediciones repetidas de la misma señal, la relación señal-ruido (SNR) aumenta, idealmente en proporción a la raíz cuadrada del número de repeticiones. ^{[ 1 ]}

Derivación de la relación señal/ruido (SNR) para señales promediadas

Se supuso que

Señal $s(t)$ no está correlacionado con el ruido, y el ruido $z(t)$ no está correlacionado : $E[z(t)z(t-\tau )]=0=E[z(t)s(t-\tau )]\forall t,\tau$ .
Potencia de la señal $P_{señal}=E[s^{2}]$ es constante en las mediciones repetidas.
El ruido es aleatorio, con una media de cero y una varianza constante en las mediciones repetidas: $E[z]=0=\mu$ y $0<E[\left(z-\mu \right)^{2}]=E[z^{2}]=P_{ruido}=\sigma ^{2}$ .
Definimos (canónicamente) la relación señal-ruido como $SNR={\frac {P_{señal}}{P_{ruido}}}={\frac {E[s^{2}]}{\sigma ^{2}}}$ .

Potencia de ruido para señales muestreadas

Suponiendo que muestreamos el ruido, obtenemos una varianza por muestra de

$\mathrm {Var} (z)=E[z^{2}]=\sigma ^{2}$ .

El promedio de una variable aleatoria da como resultado la siguiente varianza:

$\mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Var} \left(z_{i}\right)$ .

Dado que la varianza del ruido es constante $\sigma ^{2}$ :

$\mathrm {Var} (N_{\text{avg}})=\mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}$ ,

demostrando que promediar $n$ Las realizaciones del mismo ruido no correlacionado reducen la potencia del ruido en un factor de $n$ y reduce el nivel de ruido en un factor de ${\sqrt {n}}$ .

Potencia de señal para señales muestreadas

En vista de $n$ vectores $V_{i},\,i\in \{1,\ldots ,n\}$ de muestras de señal de longitud $T$ :

$V_{i}=\left[s_{i,1},\ldots ,s_{i,T}\right],\quad s_{i,k}\in \mathbb {K} ^{T}$ ,

el poder $P_{i}$ de tal vector simplemente es

$P_{i}=\sum _{k=1}^{T}{s_{i,k}^{2}}=\left|V_{i}\right|^{2}$ .

Nuevamente, promediando el $n$ vectores $V_{i},\,i=1,\ldots ,n$ , produce el siguiente vector promediado

$V_{\text{promedio}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{T}\sum _{i=1}^{n}s_{i,k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{T}s_{i,k}$ .

En el caso donde $V_{n}\equiv V_{m}\forall m,n\in \{1,\ldots ,n\}$ , vemos que $V_{\text{promedio}}$ alcanza un máximo de

$V_{\text{señales idénticas promedio}}=P_{i}$ .

En este caso, la relación señal/ruido también alcanza un máximo,

${\text{SNR}}_{\text{promedio, señales idénticas}}={\frac {V_{\text{promedio, señales idénticas}}}{N_{\text{promedio}}}}=n{\text{SNR}}$ .

Este es el caso de sobremuestreo , donde la señal observada está correlacionada (porque el sobremuestreo implica que las observaciones de la señal están fuertemente correlacionadas).

Señales sincronizadas

El promedio se aplica para mejorar un componente de señal sincronizado en el tiempo en mediciones ruidosas; la sincronización en el tiempo implica que la señal es periódica con respecto a la observación, por lo que terminamos en el caso máximo mencionado anteriormente.

Promediando ensayos pares e impares

Una forma específica de obtener réplicas consiste en promediar todos los ensayos pares e impares en búferes separados. Esto tiene la ventaja de permitir la comparación de resultados pares e impares de ensayos intercalados. El promedio de los promedios de los ensayos pares e impares genera el resultado promedio final, mientras que la diferencia entre los promedios de ambos ensayos, dividida por dos, constituye una estimación del ruido.

Implementación algorítmica

A continuación se muestra una simulación en MATLAB del proceso de promediado:

N = 1000 ; % longitud de la señal even = zeros ( N , 1 ); % búfer par odd = even ; % búfer impar actual_noise = even ; % seguimiento del nivel de ruido x = sin ( linspace ( 0 , 4 * pi , N )) ' ; % señal rastreada for ii = 1 : 256 % número de réplicas n = randn ( N , 1 ); % ruido aleatorio actual_noise = actual_noise + n ; if ( mod ( ii , 2 )) even = even + n + x ; else odd = odd + n + x ; end endeven_avg = even / ( ii / 2 ); % promedio del búfer par odd_avg = odd / ( ii / 2 ); % promedio del búfer impar act_avg = actual_noise / ii ; % nivel de ruido realdb ( rms ( act_avg )) db ( rms (( even_avg - odd_avg ) / 2 )) plot (( odd_avg + even_avg )); hold on ; plot (( even_avg - odd_avg ) / 2 )

El proceso de promediado descrito anteriormente, y en general, da como resultado una estimación de la señal. En comparación con la señal original, el componente de ruido promediado se reduce con cada ensayo promediado. Al promediar señales reales, el componente subyacente no siempre es tan claro, lo que requiere promediar repetidamente en busca de componentes consistentes en dos o tres réplicas. Es improbable que se produzcan dos o más resultados consistentes por mera casualidad.

Ruido correlacionado

El promedio de señales generalmente se basa en la suposición de que el componente de ruido de una señal es aleatorio, tiene media cero y no guarda relación con la señal. Sin embargo, existen casos en los que el ruido no está descorrelacionado. Un ejemplo común de ruido correlacionado es el ruido de cuantificación (por ejemplo, el ruido generado al convertir una señal analógica en una digital).

Referencias

↑ Hewlett-Packard Company (abril de 1968). "¿Qué es el promedio de señales?" (PDF) . Hewlett-Packard Journal . 19 (4): 2–7 . Consultado el 7 de marzo de 2026 .

[1] Hewlett-Packard Company (abril de 1968). "¿Qué es el promedio de señales?" (PDF) . Hewlett-Packard Journal . 19 (4): 2–7 . Consultado el 7 de marzo de 2026 .

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