Ley de inercia de Sylvester

La ley de inercia de Sylvester es un teorema del álgebra matricial sobre ciertas propiedades de la matriz de coeficientes de una forma cuadrática real que permanecen invariantes ante un cambio de base . Es decir, si${\displaystyle S}$es una matriz simétrica , entonces para cualquier matriz invertible${\displaystyle P}$, los números de valores propios positivos, negativos y cero de${\displaystyle S'=PSP^{\mathsf {T}}}$son constantes (es decir, la inercia de${\displaystyle S'}$es constante). Este resultado es particularmente útil cuando${\displaystyle S'}$es diagonal, ya que la inercia de una matriz diagonal se puede obtener fácilmente observando los signos de sus elementos diagonales.

Esta propiedad lleva el nombre de James Joseph Sylvester , quien publicó su prueba en 1852. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​una matriz cuadrada simétrica de orden${\displaystyle n}$con entradas reales . Cualquier matriz cuadrada no singular.${\displaystyle P}$Se dice que del mismo orden se transforma${\displaystyle S}$en otra matriz simétrica${\displaystyle S'=PSP^{\mathsf {T}}}$⁠ , también de orden ⁠${\displaystyle n}$, donde${\displaystyle P^{\mathsf {T}}}$es la transpuesta de${\displaystyle P}$También se dice que las matrices${\displaystyle S}$y${\displaystyle S'}$son congruentes . Si${\displaystyle S}$es la matriz de coeficientes de alguna forma cuadrática en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces${\displaystyle S'}$es la matriz de coeficientes de la misma forma después del cambio de base definido por ⁠${\displaystyle P}$⁠ .

Una matriz simétrica${\displaystyle S}$Siempre se puede transformar de esta manera en una matriz diagonal.${\displaystyle D}$que solo tiene entradas${\displaystyle 0}$,​​${\displaystyle +1}$,​​${\displaystyle -1}$⁠ a lo largo de la diagonal. La ley de inercia de Sylvester establece que el número de entradas diagonales de cada tipo es un invariante de ⁠${\displaystyle S}$⁠ , es decir, no depende de la matriz${\displaystyle P}$usado.

El número de ⁠${\displaystyle +1}$⁠ 's, denotado ⁠${\displaystyle n_{+}}$⁠ , se denomina índice de inercia positivo de ⁠${\displaystyle S}$⁠ , y el número de ⁠${\displaystyle -1}$⁠ 's, denotado ⁠${\displaystyle n_{-}}$⁠ , se denomina índice negativo de inercia de ⁠${\displaystyle S}$⁠ . El número de ⁠${\displaystyle 0}$⁠ 's, denotado ⁠${\displaystyle n_{0}}$⁠ , es la dimensión del espacio nulo de ⁠${\displaystyle S}$⁠ , conocida como la nulidad de ⁠${\displaystyle S}$Estos números satisfacen la relación obvia.

⁠${\displaystyle n_{0}+n_{+}+n_{-}=n}$⁠ .

La diferencia${\displaystyle \mathrm {sgn} (S)=n_{+}-n_{-}}$se suele llamar la firma de${\displaystyle S}$Sin embargo, algunos autores utilizan ese término para la triple${\displaystyle (n_{0},n_{+},n_{-})}$que consiste en la nulidad, el índice positivo y el índice negativo de inercia de ⁠${\displaystyle S}$Para una forma no degenerada de una dimensión dada, estos son datos equivalentes; pero en general, la tripleta produce más datos.

Si la matriz${\displaystyle S}$tiene la propiedad de que cada superior izquierdo principal${\displaystyle k\times k}$menor${\displaystyle \Delta _{k}}$Si es distinto de cero, entonces el índice de inercia negativo es igual al número de cambios de signo en la secuencia.

⁠${\displaystyle \Delta _{0}=1,\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}=\det S}$⁠ .

La ley también puede enunciarse de la siguiente manera: dos matrices cuadradas simétricas${\displaystyle S}$y${\displaystyle S'}$del mismo tamaño tienen el mismo número de valores propios positivos, negativos y cero si y solo si son congruentes ^{[ 3 ]} (es decir ,${\displaystyle S'=PSP^{\mathsf {T}}}$para alguna matriz cuadrada no singular${\displaystyle P}$⁠ ).

Los índices positivos y negativos de una matriz simétrica${\displaystyle S}$También son los números de valores propios positivos y negativos de ⁠${\displaystyle S}$Cualquier matriz real simétrica${\displaystyle S}$tiene una descomposición en valores propios de la forma ⁠${\displaystyle QEQ^{\mathsf {T}}}$, donde${\displaystyle E}$es una matriz diagonal que contiene los valores propios de ⁠${\displaystyle S}$y​${\displaystyle Q}$es una matriz cuadrada ortogonal que contiene los vectores propios. La matriz${\displaystyle E}$se puede escribir${\displaystyle E=WDW^{\mathsf {T}}}$, donde${\displaystyle D}$es diagonal con entradas ⁠${\displaystyle 0,+1,-1}$y​${\displaystyle W}$es diagonal con cada${\displaystyle W_{i,i}={\sqrt {\vert E_{i,i}\vert }}}$⁠ . La matriz${\displaystyle P=QW}$transforma${\displaystyle D}$a​${\displaystyle S}$, ya que${\displaystyle S=QEQ^{\mathsf {T}}=QW~D~W^{\mathsf {T}}\!Q^{\mathsf {T}}}$⁠ .

Una forma cuadrática real${\displaystyle q}$en${\displaystyle n}$variables (o en un ⁠${\displaystyle n}$espacio vectorial real de dimensión - ) puede, mediante un cambio de base adecuado (mediante una transformación lineal no singular desde${\displaystyle x}$a​${\displaystyle y}$⁠ ), ser llevado a la forma diagonal

⁠${\displaystyle q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{2}}$⁠ , con cada ⁠${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,-1\}}$⁠ .

La ley de inercia de Sylvester establece que el número de coeficientes de un signo dado es un invariante de${\displaystyle q}$⁠ , es decir, no depende de una elección particular de base diagonalizadora.

Expresada geométricamente, la ley de inercia dice que todos los subespacios máximos en los que la restricción de la forma cuadrática es definida positiva (respectivamente, definida negativa) tienen la misma dimensión . Estas dimensiones son los índices de inercia positivos y negativos de ⁠${\displaystyle q}$⁠ .

Dos matrices complejas (es decir, con entradas complejas )${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$se dice que son${\displaystyle \mathbf {*} }$-congruente si (y solo si ) existe una matriz compleja no singular${\displaystyle P}$de tal manera que${\displaystyle B=PAP^{*}}$, donde${\displaystyle P^{*}}$denota la transpuesta conjugada de ⁠${\displaystyle P}$⁠ .

La definición de inercia sigue siendo válida para una matriz hermitiana , ya que sus valores propios son siempre números reales.

La ley de inercia de Sylvester se puede generalizar a matrices complejas: Dos matrices hermíticas${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son​${\displaystyle *}$-congruentes si y solo si tienen la misma inercia.

Ostrowski demostró una generalización cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester: ^{[ 4 ] [ 5 ]} Si dos matrices complejas${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son​${\displaystyle *}$-congruente , con${\displaystyle B=PAP^{*}}$dónde​${\displaystyle P}$es una matriz compleja no singular, entonces sus valores propios${\displaystyle \lambda _{j}}$están relacionados por

⁠${\displaystyle \lambda _{j}(B)=\theta _{j}~\lambda _{j}(A)}$⁠ ,

donde​${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$⁠ , y cada uno${\displaystyle \theta _{j}}$es tal que

⁠${\displaystyle \lambda _{n}(PP^{*})\leq \theta _{j}\leq \lambda _{1}(PP^{*})}$⁠ .

Un teorema de Ikramov generaliza la ley de inercia a matrices normales : ^{[ 6 ]} Dos matrices normales${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son​${\displaystyle *}$-congruentes si y solo si tienen el mismo número de autovalores en cada rayo abierto desde el origen en el plano complejo . ^{[ a ]}

• Firma métrica
• teoría de Morse
• descomposición colérica
• Fórmula de aditividad de la inercia de Haynsworth

• Garling, DJH (2011). Álgebras de Clifford. Una introducción . Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  78. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl 1235.15025 . 

• La ley de Sylvester en PlanetMath .
• Ley de inercia de Sylvester y *-congruencia