Firma métrica

En matemáticas , la signatura de un tensor métrico $g$ (o, equivalentemente, una forma cuadrática real considerada como una forma bilineal simétrica real en un espacio vectorial de dimensión finita ) es el número (contado con multiplicidad) de autovalores positivos, negativos y cero de la matriz simétrica real $g$ $ab$ del tensor métrico con respecto a una base . Alternativamente, puede definirse como las dimensiones de un subespacio positivo y nulo máximo . Según la ley de inercia de Sylvester, estos números no dependen de la elección de la base y, por lo tanto, pueden usarse para clasificar la métrica. Se denota mediante tres enteros $($ $v$ $,$ $p$ $,$ $r$ $)$ , donde v es el número de autovalores positivos, p es el número de autovalores negativos y r es el número de autovalores cero del tensor métrico. También se puede denotar $($ $v$ $,$ $p$ $)$ lo que implica $r$ $= 0$ , o como una lista explícita de signos de valores propios como $(+, -, -, -)$ o $(-, +, +, +)$ para las signaturas $(1, 3, 0)$ y $(3, 1, 0)$ , respectivamente. ^[¹^] La elección de los nombres de las variables $v$ y $p$ refleja la convención en la física relativista de que $v$ representa el número de dimensiones temporales o virtuales, y $p$ el número de dimensiones espaciales o físicas.

Se dice que la signatura es indefinida o mixta si tanto $v$ como $p$ son distintos de cero, y degenerada si $r$ es distinto de cero. Una métrica riemanniana es una métrica con signatura definida positiva $(v, 0)$ . Una métrica lorentziana es una métrica con signatura $(p, 1)$ o $(1, p)$ .

Existe otra noción de signatura de un tensor métrico no degenerado dado por un único número $s$ definido como $(v - p)$ , donde $v$ y $p$ son como se indicó anteriormente, que es equivalente a la definición anterior cuando la dimensión $n = v + p$ está dada o implícita. Por ejemplo, $s = 1 - 3 = -2$ para $(+, -, -, -)$ y su reflejo $s' = -s = +2$ para $(-, +, +, +)$ .

Definición

La signatura de un tensor métrico se define como la signatura de la forma cuadrática correspondiente . ^{[ 2 ]} Es el número $(v, p, r) de$ autovalores positivos, negativos y cero de cualquier matriz (es decir, en cualquier base del espacio vectorial subyacente) que representa la forma, contados con sus multiplicidades algebraicas . Por lo general, se requiere $r = 0$ , lo que equivale a decir que un tensor métrico debe ser no degenerado, es decir, ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores.

Según la ley de inercia de Sylvester, los números $(v, p, r)$ son independientes de la base.

Propiedades

Firma y dimensión

Por el teorema espectral, una matriz simétrica $n \times n$ sobre los números reales siempre es diagonalizable y, por lo tanto, tiene exactamente $n$ valores propios reales (contados con multiplicidad algebraica ). Así, $v + p = n = dim(V)$ .

Ley de inercia de Sylvester: independencia de la elección de la base y existencia de una base ortonormal.

Según la ley de inercia de Sylvester , la signatura del producto escalar (también conocida como forma bilineal simétrica real), $g,$ no depende de la elección de la base. Además, para cada métrica $g$ de signatura $(v, p, r)$ existe una base tal que $g ab = +1$ para $a = b = 1, ..., v$ , $g ab = -1$ para $a = b = v + 1, ..., v + p$ y $g ab = 0 en caso contrario. De ello$ $se$ $deduce$ que existe una isometría $(V₁, g₁) \to (V₂, g₂)$ si y solo si las signaturas de $g₁$ $y$ g₂ $son iguales. Asimismo$ $,$ la signatura es igual para dos matrices congruentes $y$ clasifica una matriz salvo congruencia. De forma equivalente, la signatura es constante en las órbitas del grupo lineal general $GL$ $($ $V$ $)$ en el espacio de tensores contravariantes simétricos de rango 2 $S₂V$ $*$ $y$ $clasifica$ cada órbita.

Interpretación geométrica de los índices

El número $v$ (o $p$ ) es la dimensión máxima de un subespacio vectorial en el que el producto escalar $g$ es definido positivo (o definido negativo), y $r$ es la dimensión del radical del producto escalar $g$ o del subespacio nulo de la matriz simétrica $g ab$ del producto escalar . Así, un producto escalar no degenerado tiene signatura $(v, p, 0)$ , con $v + p = n$ . Una dualidad de los casos especiales $(v, p, 0)$ corresponde a dos autovalores escalares que pueden transformarse recíprocamente entre sí mediante la reflexión.

Ejemplos

Matrices

La signatura de la matriz identidad $n \times n$ es $($ $n$ $, 0, 0)$ . La signatura de una matriz diagonal es el número de números positivos, negativos y cero en su diagonal principal .

Las siguientes matrices tienen la misma signatura $(1, 1, 0)$ , por lo tanto son congruentes debido a la ley de inercia de Sylvester :

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

productos escalares

El producto escalar estándar definido en $\mathbb {R} ^{n}$ tiene las firmas $n -dimensionales$ $(v, p, r)$ , donde $v + p = n$ y rango $r = 0$ .

En física, el espacio de Minkowski es una variedad espaciotemporal. $\mathbb {R} ^{4}$ con $v = 1$ y $p = 3$ bases, y tiene un producto escalar definido por cualquiera de las ${\check {g}}$ matriz:

{\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

que tiene firma $(1,3,0)^{-}$ y conocida como supremacía espacial o de tipo espacial; o la firma especular $(1,3,0)^{+}$ , conocida como supremacía virtual o similar al tiempo con la ${\hat {g}}$ matriz.

{\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}

Cómo calcular la firma

Existen algunos métodos para calcular la firma de una matriz.

Para cualquier matriz simétrica no degenerada $de n$ $\times$ $n$ , diagonalícela (o encuentre todos sus valores propios ) y cuente el número de signos positivos y negativos.
Para una matriz simétrica, el polinomio característico tendrá todas raíces reales cuyos signos pueden, en algunos casos, estar completamente determinados por la regla de los signos de Descartes .
El algoritmo de Lagrange proporciona una forma de calcular una base ortogonal y, por lo tanto, calcular una matriz diagonal congruente (es decir, con la misma signatura) a la otra: la signatura de una matriz diagonal es el número de elementos positivos, negativos y cero en su diagonal.
Según el criterio de Jacobi, una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos los determinantes de sus menores principales son positivos.

Firma en física

En matemáticas, la convención habitual para cualquier variedad riemanniana es utilizar un tensor métrico definido positivo (lo que significa que, después de la diagonalización, todos los elementos de la diagonal son positivos).

En física teórica , el espaciotiempo se modela mediante una variedad pseudoriemanniana . La signatura cuenta cuántos caracteres de tipo temporal o espacial hay en el espaciotiempo, en el sentido definido por la relatividad especial : como se usa en física de partículas , la métrica tiene un valor propio en el subespacio de tipo temporal y su valor propio reflejado en el subespacio de tipo espacial. En el caso específico de la métrica de Minkowski ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

La firma métrica es $(1,3,0)^{+}$ o (+, −, −, −) si su valor propio está definido en la dirección del tiempo, o $(1,3,0)^{-}$ o (−, +, +, +) si el valor propio está definido en las tres direcciones espaciales $x$ , $y$ y $z . (A veces se usa la convención$ de signos opuesta , pero con la que se da aquí $, s$ mide directamente el tiempo propio ).

Cambio de firma

Si una métrica es regular en todas partes, entonces su signatura es constante. Sin embargo, si se permiten métricas degeneradas o discontinuas en algunas hipersuperficies, entonces la signatura de la métrica puede cambiar en dichas superficies. ^{[ 3 ]} Estas métricas con signatura variable podrían tener aplicaciones en cosmología y gravedad cuántica .

Véase también

Notas

↑ Rowland, Todd. "Firma de matriz". De MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
↑ Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. Vol. 2 (4.ª ed.). Butterworth–Heinemann . págs. 245–246 . ISBN 0-7506-2768-9.
↑ Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). "Gravedad y cambio de signatura". Relatividad general y gravitación . 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

[1] Rowland, Todd. "Firma de matriz". De MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html

[2] Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. Vol. 2 (4.ª ed.). Butterworth–Heinemann . págs. 245–246 . ISBN 0-7506-2768-9.

[3] Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). "Gravedad y cambio de signatura". Relatividad general y gravitación . 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

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