Operador de firma

En matemáticas , el operador signatura es un operador diferencial elíptico definido en un subespacio determinado del espacio de formas diferenciales en una variedad riemanniana compacta de dimensión par , cuyo índice analítico es el mismo que la signatura topológica de la variedad si la dimensión de la variedad es un múltiplo de cuatro. ^{[ 1 ]} Es un ejemplo de operador de tipo Dirac.

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una variedad riemanniana compacta de dimensión par${\displaystyle 2l}$. Dejar

${\displaystyle d:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)}$

ser el derivado exterior en${\displaystyle i}$formas diferenciales de orden -ésimo en${\displaystyle M}$. La métrica riemanniana en${\displaystyle M}$nos permite definir el operador estrella de Hodge${\displaystyle \star }$y con ello el producto interior

${\displaystyle \langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta }$

en formularios. Denotemos por

${\displaystyle d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\rightarrow \Omega ^{p}(M)}$

el operador adjunto del diferencial exterior${\displaystyle d}$Este operador puede expresarse únicamente en términos del operador estrella de Hodge de la siguiente manera:

${\displaystyle d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star }$

Ahora considere${\displaystyle d+d^{*}}$actuando sobre el espacio de todas las formas${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)}$Una forma de considerar esto como un operador graduado es la siguiente: Sea${\displaystyle \tau }$ser una involución en el espacio de todas las formas definidas por:

${\displaystyle \tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Se verifica que${\displaystyle d+d^{*}}$anti-desplazamientos con${\displaystyle \tau }$y, en consecuencia, cambia el${\displaystyle (\pm 1)}$- espacios propios${\displaystyle \Omega _{\pm }(M)}$ de${\displaystyle \tau }$

Como consecuencia,

${\displaystyle d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}}$

Definición: El operador${\displaystyle d+d^{*}}$con la calificación anterior respectivamente el operador anterior${\displaystyle D:\Omega _{+}(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)}$se denomina operador de firma de${\displaystyle M}$. ^{[ 1 ]}

En el caso de dimensión impar, se define el operador de firma como${\displaystyle i(d+d^{*})\tau}$actuando sobre las formas de dimensión par de${\displaystyle M}$.

Si${\displaystyle l=2k}$, de modo que la dimensión de${\displaystyle M}$Si es un múltiplo de cuatro, entonces la teoría de Hodge implica que:

${\displaystyle \mathrm {índice} (D)=\mathrm {signo} (M)}$

donde el lado derecho es la signatura topológica ( es decir, la signatura de una forma cuadrática en${\displaystyle H^{2k}(M)\ }$definido por el producto de la taza ).

El enfoque de la ecuación del calor para el teorema del índice de Atiyah-Singer se puede utilizar para demostrar que:

${\displaystyle \mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})}$

dónde${\displaystyle L}$es el polinomio L de Hirzebruch , ^{[ 2 ]} y el${\displaystyle p_{i}\ }$Las formas de Pontrjagin en${\displaystyle M}$. ^{[ 3 ]}

Kaminker y Miller demostraron que los índices superiores del operador de signatura son invariantes bajo homotopía. ^{[ 4 ]}

• Teorema de la signatura de Hirzebruch
• Clase Pontryagin
• Friedrich Hirzebruch
• Michael Atiyah
• Isadore Singer

• Atiyah, MF ; Bott, R. (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos I", Annals of Mathematics , 86 (2): 374–407 , doi : 10.2307/1970694 , JSTOR 1970694 
• Atiyah, MF ; Bott, R.; Patodi, VK (1973), "Sobre la ecuación del calor y el teorema del índice", Inventiones Mathematicae , 19 (4): 279–330 , Bibcode : 1973InMat..19..279A , doi : 10.1007/bf01425417 , S2CID 115700319 
• Gilkey, Peter B. (1973), "Curvatura y valores propios del laplaciano para complejos elípticos", Advances in Mathematics , 10 (3): 344–382 , doi : 10.1016/0001-8708(73)90119-9
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Métodos topológicos en geometría algebraica, 4.ª edición , Berlín y Heidelberg: Springer-Verlag. 234 págs., ISBN 978-3-540-58663-0
• Kaminker, Jerome; Miller, John G. ( 1985), "Invariancia homotópica del índice analítico de operadores de signatura sobre C*-álgebras" (PDF) , Journal of Operator Theory , 14 : 113–127