Signo (matemáticas)

Dentro de la convención de que cero no es ni positivo ni negativo, se puede asignar un valor de signo específico 0 al valor numérico 0. Esto se aprovecha en el${\displaystyle \operatorname {sgn} }$-función , tal como se define para los números reales. ^{[ 1 ]} En aritmética, +0 y −0 denotan el mismo número 0. Generalmente no hay peligro de confundir el valor con su signo, aunque la convención de asignar ambos signos a 0 no permite inmediatamente esta distinción.

En ciertos países europeos, por ejemplo en Bélgica y Francia, el 0 se considera tanto positivo como negativo según la convención establecida por Nicolas Bourbaki . ^{[ 2 ]}

En algunos contextos, como las representaciones de punto flotante de números reales en las computadoras, es útil considerar versiones con signo del cero, donde los ceros con signo se refieren a diferentes representaciones de números discretos (consulte representaciones de números con signo para obtener más información).

Los símbolos +0 y −0 rara vez aparecen como sustitutos de 0 ⁺ y 0 ⁻ , utilizados en cálculo y análisis matemático para límites unilaterales (límite por la derecha y límite por la izquierda, respectivamente). Esta notación se refiere al comportamiento de una función cuando su variable de entrada real tiende a 0 en valores positivos (o negativos); no es necesario que los dos límites existan o coincidan.

Cuando se dice que el 0 no es ni positivo ni negativo, las siguientes frases pueden referirse al signo de un número:

• Un número es positivo si es mayor que cero.
• Un número es negativo si es menor que cero.
• Un número es no negativo si es mayor o igual que cero.
• Un número es no positivo si es menor o igual que cero.

Cuando se dice que 0 es tanto positivo como negativo, ^{[ 2 ]} se utilizan frases modificadas para referirse al signo de un número:

• Un número es estrictamente positivo si es mayor que cero.
• Un número es estrictamente negativo si es menor que cero.
• Un número es positivo si es mayor o igual que cero.
• Un número es negativo si es menor o igual que cero.

Por ejemplo, el valor absoluto de un número real siempre es "no negativo", pero no necesariamente "positivo" en la primera interpretación, mientras que en la segunda interpretación se le llama "positivo", aunque no necesariamente "estrictamente positivo".

A veces se utiliza la misma terminología para funciones que producen valores reales u otros valores con signo. Por ejemplo, una función se denomina positiva si sus valores son positivos para todos los argumentos de su dominio, o no negativa si todos sus valores son no negativos.

Los números complejos son imposibles de ordenar, por lo que no pueden tener la estructura de un anillo ordenado y, por consiguiente, no se pueden dividir en números complejos positivos y negativos. Sin embargo, comparten un atributo con los números reales, llamado valor absoluto o magnitud . Las magnitudes son siempre números reales no negativos, y a todo número distinto de cero le corresponde un número real positivo, su valor absoluto .

Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3. Esto se escribe en símbolos como | −3 | = 3 y | 3 | = 3 .

En general, cualquier valor real arbitrario puede especificarse mediante su magnitud y su signo. Utilizando la codificación estándar, cualquier valor real se obtiene multiplicando la magnitud por el signo. Esta relación puede generalizarse para definir el signo de los números complejos.

Dado que tanto los números reales como los complejos forman un cuerpo y contienen los reales positivos, también contienen los recíprocos de las magnitudes de todos los números distintos de cero. Esto significa que cualquier número distinto de cero puede multiplicarse por el recíproco de su magnitud, es decir, dividirse por su magnitud. Es inmediato que el cociente de cualquier número real distinto de cero por su magnitud da exactamente su signo. Por analogía, el signo de un número complejo z puede definirse como el cociente de z y su magnitud | z | . El signo de un número complejo es la exponencial del producto de su argumento por la unidad imaginaria. representa en cierto sentido su argumento complejo. Esto debe compararse con el signo de los números reales, excepto que${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$Para la definición de una función signo compleja, consulte la sección «  Función signo compleja» a continuación.

Al trabajar con números, suele ser conveniente disponer de su signo como un valor numérico. Esto se logra mediante funciones que extraen el signo de cualquier número y lo asocian a un valor predefinido antes de utilizarlo para cálculos posteriores. Por ejemplo, podría ser ventajoso formular un algoritmo complejo solo para valores positivos y ocuparse del signo posteriormente.

En muchos contextos, es común asociar un signo a la medida de un ángulo , especialmente a un ángulo orientado o a un ángulo de rotación . En tal caso, el signo indica si el ángulo se mide en sentido horario o antihorario. Si bien se pueden usar diferentes convenciones, en matemáticas es común considerar los ángulos antihorarios como positivos y los ángulos en sentido horario como negativos. ^{[ 4 ]}

También es posible asociar un signo a un ángulo de rotación en tres dimensiones, suponiendo que el eje de rotación esté orientado. Específicamente, una rotación hacia la derecha alrededor de un eje orientado generalmente se considera positiva, mientras que una rotación hacia la izquierda se considera negativa.

Un ángulo que es el negativo de un ángulo dado tiene un arco igual, pero el eje opuesto . ^{[ 5 ]}

Cuando una cantidad x cambia con el tiempo, el cambio en el valor de x se define típicamente mediante la ecuación $${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$$

Según esta convención, un aumento en x se considera un cambio positivo, mientras que una disminución se considera un cambio negativo. En cálculo , esta misma convención se utiliza en la definición de la derivada . Por lo tanto, cualquier función creciente tiene derivada positiva, mientras que cualquier función decreciente tiene derivada negativa.

Al estudiar desplazamientos y movimientos unidimensionales en geometría analítica y física , es común etiquetar las dos direcciones posibles como positivas y negativas. Dado que la recta numérica generalmente se dibuja con los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda, una convención común es asignar un signo positivo a los movimientos hacia la derecha y un signo negativo a los movimientos hacia la izquierda.

En el plano cartesiano , las direcciones hacia la derecha y hacia arriba se consideran positivas, siendo la dirección hacia la derecha la dirección positiva del eje x y la dirección hacia arriba la dirección positiva del eje y . Si un vector de desplazamiento se descompone en sus componentes vectoriales , la parte horizontal será positiva para el movimiento hacia la derecha y negativa para el movimiento hacia la izquierda, mientras que la parte vertical será positiva para el movimiento hacia arriba y negativa para el movimiento hacia abajo.

Asimismo, una velocidad negativa (tasa de cambio de desplazamiento) implica una velocidad en la dirección opuesta , es decir, retrocediendo en lugar de avanzando; un caso especial es la velocidad radial .

En el espacio 3D , las nociones relacionadas con el signo se pueden encontrar en las dos orientaciones normales y en la orientabilidad en general.

En informática , un valor entero puede ser con signo o sin signo, dependiendo de si el ordenador registra el signo del número. Al restringir una variable entera a valores no negativos, se puede utilizar un bit adicional para almacenar el valor del número. Debido a la forma en que se realiza la aritmética de enteros en los ordenadores, las representaciones de números con signo generalmente no almacenan el signo como un bit independiente, sino que utilizan, por ejemplo, el complemento a dos .

En cambio, los números reales se almacenan y manipulan como valores de coma flotante . Estos valores se representan mediante tres bits distintos: mantisa, exponente y signo. Gracias a este bit de signo independiente, es posible representar tanto el cero positivo como el negativo. La mayoría de los lenguajes de programación suelen tratar el cero positivo y el cero negativo como valores equivalentes, aunque ofrecen mecanismos para detectar esta distinción.

Además de ser el signo de un número real, la palabra signo también se utiliza de diversas maneras relacionadas en matemáticas y otras ciencias:

• Las palabras "salvo signo" significan que, para una cantidad q , se sabe que q = Q o q = − Q para ciertos Q. A menudo se expresa como q = ± Q. Para números reales, significa que solo se conoce el valor absoluto | q | de la cantidad. Para números complejos y vectores , una cantidad conocida salvo signo es una condición más fuerte que una cantidad con magnitud conocida : aparte de Q y −Q , hay muchos otros valores posibles de q tales que | q | = | Q | .
• El signo de una permutación se define como positivo si la permutación es par y negativo si la permutación es impar.
• En teoría de grafos , un grafo con signos es un grafo en el que cada arista ha sido marcada con un signo positivo o negativo.
• En análisis matemático , una medida con signo es una generalización del concepto de medida en la que la medida de un conjunto puede tener valores positivos o negativos.
  • El concepto de distancia con signo se utiliza para indicar lado , interior o exterior.
  • Los conceptos de área con signo y volumen con signo se utilizan a veces cuando resulta conveniente considerar ciertas áreas o volúmenes como negativos. Esto es especialmente cierto en la teoría de determinantes . En un espacio vectorial orientado (abstracto) , cada base ordenada del espacio vectorial puede clasificarse como orientada positiva o negativamente.
• En una representación con dígitos con signo , cada dígito de un número puede tener un signo positivo o negativo.
• En física , toda carga eléctrica tiene un signo, ya sea positivo o negativo. Por convención, una carga positiva es aquella que tiene el mismo signo que un protón , y una carga negativa es aquella que tiene el mismo signo que un electrón .