Similitud (geometría)

En geometría euclidiana , dos objetos son semejantes si tienen la misma forma , o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno se puede obtener del otro mediante un escalado uniforme (aumento o reducción), posiblemente con traslación , rotación y reflexión adicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos puede ser reescalado, reposicionado y reflejado para coincidir exactamente con el otro. Si dos objetos son semejantes, cada uno es congruente con el resultado de un escalado uniforme particular del otro.

Por ejemplo, todos los círculos , todos los cuadrados y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí . En cambio, no todas las elipses , rectángulos ni triángulos isósceles son similares entre sí . Esto se debe a que dos elipses pueden tener diferentes proporciones de ancho a alto, dos rectángulos diferentes proporciones de largo a ancho y dos triángulos isósceles diferentes ángulos de la base.

Si dos ángulos de un triángulo miden lo mismo que dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes de polígonos semejantes son proporcionales, y los ángulos correspondientes de polígonos semejantes miden lo mismo.

Dos figuras congruentes son semejantes, con un factor de escala de 1. Sin embargo, algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos semejantes, al insistir en que los tamaños deben ser diferentes para que los triángulos se consideren semejantes.

Dos triángulos, △ ABC y △ A'B'C', son semejantes si y solo si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida; esto implica que son semejantes si y solo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales . ^{[ 1 ]} Se puede demostrar que dos triángulos con ángulos congruentes ( triángulos equiangulares ) son semejantes, es decir, se puede probar que sus lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como el teorema de semejanza AAA. ^{[ 2 ]} Nótese que "AAA" es una regla mnemotécnica: cada una de las tres A se refiere a un "ángulo". Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos semejantes para que solo se requiera que los tres ángulos correspondientes sean congruentes. ^{[ 3 ]}

Existen varios criterios, cada uno de los cuales es necesario y suficiente para que dos triángulos sean semejantes:

• Cualquier par de ángulos son congruentes, ^{[ 4 ]} lo que en geometría euclidiana implica que los tres ángulos son congruentes: ^{[ a ]}

Si ∠ BAC es igual en medida a ∠ B'A'C', y ∠ ABC es igual en medida a ∠ A'B'C', entonces esto implica que ∠ ACB es igual en medida a ∠ A'C'B' y los triángulos son semejantes.

• Todos los lados correspondientes son proporcionales: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen especular) es una ampliación del otro.

• Cualquier par de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

Esto se conoce como el criterio de similitud SAS. ^{[ 7 ]} El "SAS" es una regla mnemotécnica: cada una de las dos S se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Simbólicamente, escribimos la semejanza y la disimilitud de dos triángulos △ ABC y △ A'B'C' de la siguiente manera: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

Existen varios resultados elementales sobre triángulos semejantes en geometría euclidiana: ^{[ 9 ]}

• Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
• Dos triángulos, ambos semejantes a un tercer triángulo, son semejantes entre sí ( transitividad de la semejanza de triángulos).
• Las alturas correspondientes de triángulos semejantes tienen la misma proporción que los lados correspondientes.
• Dos triángulos rectángulos son semejantes si la hipotenusa y otro cateto tienen longitudes en la misma proporción. ^{[ 10 ]} En este caso, existen varias condiciones equivalentes, como que los triángulos rectángulos tengan un ángulo agudo de la misma medida o que las longitudes de los catetos (lados) estén en la misma proporción.

Dado un triángulo △ ABC y un segmento de recta DE , con regla y compás se puede hallar un punto F tal que △ ABC ~ △ DEF . La afirmación de que existe un punto F que satisface esta condición es el postulado de Wallis ^{[ 11 ]} y es lógicamente equivalente al postulado de Euclides de las paralelas ^{[ 12 ]} . En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso), los triángulos semejantes son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana dado por George David Birkhoff (véase Axiomas de Birkhoff ), el criterio de similitud SAS mencionado anteriormente se utilizó para reemplazar tanto el postulado de paralelos de Euclides como el axioma SAS, lo que permitió una drástica reducción de los axiomas de Hilbert . ^{[ 7 ]}

Los triángulos semejantes constituyen la base de muchas demostraciones sintéticas (sin el uso de coordenadas) en geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que pueden demostrarse de esta manera se encuentran: el teorema de la bisectriz del ángulo , el teorema de la media geométrica , el teorema de Ceva , el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras . Los triángulos semejantes también proporcionan los fundamentos de la trigonometría del triángulo rectángulo . ^{[ 13 ]}

El concepto de semejanza se extiende a polígonos con más de tres lados. Dados dos polígonos semejantes, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso si en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) son proporcionales , y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia tienen la misma medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es suficiente por sí sola para demostrar la semejanza de polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían semejantes). Del mismo modo, la igualdad de todos los ángulos en una secuencia no es suficiente para garantizar la semejanza (de lo contrario, todos los rectángulos serían semejantes). Una condición suficiente para la semejanza de polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para un n dado , todos los n -gonos regulares son similares.

Varios tipos de curvas tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Estos incluyen:

• Líneas (cualquier par de líneas son congruentes )
• segmentos de línea
• Círculos
• Parábolas ^{[ 14 ]}
• Hipérbolas de una excentricidad específica ^{[ 15 ]}
• Elipses de una excentricidad específica ^{[ 15 ]}
• Catenarias
• Gráficas de la función logaritmo para diferentes bases.
• Gráficas de la función exponencial para diferentes bases.
• Las espirales logarítmicas son autosimilares.

Una semejanza (también llamada transformación de semejanza o similitud ) de un espacio euclidiano es una biyección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r , de modo que para cualesquiera dos puntos x e y tenemos

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

donde d ( x , y ) es la distancia euclidiana de x a y . ^{[ 16 ]} El escalar r tiene muchos nombres en la literatura, incluyendo razón de similitud , factor de estiramiento y coeficiente de similitud . Cuando r = 1 una similitud se llama isometría ( transformación rígida ). Dos conjuntos se llaman similares si uno es la imagen del otro bajo una similitud.

Como un mapa${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$Una semejanza de razón r toma la forma

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

donde​${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$es una matriz ortogonal n × n y${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$es un vector de traslación.

Las semejanzas conservan planos, líneas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de línea. ^{[ 17 ]} Las semejanzas conservan ángulos pero no necesariamente la orientación; las semejanzas directas conservan la orientación y las semejanzas opuestas la modifican. ^{[ 18 ]}

Las similitudes del espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado grupo de ^{similitudes S. [19]} Las similitudes ^{directas forman} un subgrupo normal de S y el grupo euclidiano E ( n ) de isometrías también forma un subgrupo normal. ^{[ 20 ]} El grupo de similitudes S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín , por lo que toda similitud es una transformación afín .

Se puede considerar el plano euclidiano como el plano complejo , ^{[ b ]} es decir, como un espacio bidimensional sobre los números reales . Las transformaciones de semejanza bidimensionales se pueden expresar entonces en términos de aritmética compleja y vienen dadas por

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(similitudes directas) y
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(similitudes opuestas),

donde a y b son números complejos, a ≠ 0. Cuando | a | = 1 , estas semejanzas son isometrías.

La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve, es decir, por tres al cuadrado). Las alturas de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altura trazada a ese lado de longitud h , entonces un triángulo semejante con un lado correspondiente de longitud kb tendrá una altura trazada a ese lado de longitud kh . El área del primer triángulo es${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$mientras que el área del triángulo semejante será $${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$ Las figuras semejantes que se pueden descomponer en triángulos semejantes tendrán áreas relacionadas de la misma manera. Esta relación también se aplica a las figuras que no son rectificables.

La razón entre los volúmenes de figuras semejantes es igual al cubo de la razón entre las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando la arista de un cubo o el radio de una esfera se multiplica por tres, su volumen se multiplica por 27, es decir, por tres al cubo).

La ley del cuadrado-cubo de Galileo se refiere a sólidos semejantes. Si la razón de similitud (razón de lados correspondientes) entre los sólidos es k , entonces la razón de las áreas de las superficies de los sólidos será k ² , mientras que la razón de los volúmenes será k ³ .

Ejemplo en el que cada semejanza compuesta consigo misma varias veces sucesivamente tiene un centro en el centro de un polígono regular que se va reduciendo.

Ejemplo de similitud directa del centro S descompuesto en una rotación de ángulo de 135° y una homotecia que divide las áreas por la mitad .

Ejemplos de similitudes directas que tienen cada una un centro .

Si una similitud tiene exactamente un punto invariante : un punto que la similitud mantiene sin cambios, entonces este único punto se denomina " centro " de la similitud.

En la primera imagen debajo del título, a la izquierda, una u otra similitud reduce un polígono regular a uno concéntrico , cuyos vértices están cada uno en un lado del polígono anterior. Esta reducción rotacional se repite , de modo que el polígono inicial se extiende en un abismo de polígonos regulares. El centro de la similitud es el centro común de los polígonos sucesivos. Un segmento rojo une un vértice del polígono inicial con su imagen bajo la similitud, seguido de un segmento rojo que va a la siguiente imagen del vértice, y así sucesivamente para formar una espiral . En realidad podemos ver más de tres similitudes directas en esta primera imagen, porque cada polígono regular es invariante bajo ciertas similitudes directas, más precisamente ciertas rotaciones cuyo centro es el centro del polígono, y una composición de similitudes directas también es una similitud directa. Por ejemplo, vemos la imagen del pentágono regular inicial bajo una homotecia de razón negativa −k , que es una similitud de ángulo de ±180° y una razón positiva igual a k .

Debajo del título a la derecha, la segunda imagen muestra una semejanza descompuesta en una rotación y una homotecia. La semejanza y la rotación tienen el mismo ángulo de +135 grados módulo 360 grados . La semejanza y la homotecia tienen la misma razón de ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$inverso multiplicativo de la razón${\displaystyle {\sqrt {2}}}$( raíz cuadrada de 2 ) de la similitud inversa . El punto S es el centro común de las tres transformaciones: rotación, homotecia y similitud. Por ejemplo, el puntoW es la imagen de F bajo la rotación, y el punto T es la imagen de W bajo la homotecia, más brevemente. $${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$ nombrando R , H y D la rotación anterior, homotecia y similitud, con “ D ” como “Directo”.

Esta semejanza directa que transforma el triángulo △ EFA en el triángulo △ ATB se puede descomponer en una rotación y una homotecia del mismo centro S de varias maneras. Por ejemplo, D = R ○ H = H ○ R , siendo la última descomposición la única representada en la imagen. Para obtener D también podemos componer en cualquier orden una rotación de ángulo de −45° y una homotecia de razón ⁠${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$⁠

Con " M " como "Espejo" e " I " como "Indirecto", si M es la reflexión con respecto a la línea CW , entonces M ○ D = I es la similitud indirecta que transforma el segmento BF como D en el segmento CT , pero transforma el punto E en B y el punto A en A mismo. El cuadrado ACBT es la imagen de ABEF bajo la similitud I de razón ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$El punto A es el centro de esta similitud porque cualquier punto K que sea invariante bajo él cumple${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$Solo es posible si AK = 0 , de lo contrario se escribe A = K.

Cómo construir el centro S de semejanza directa D a partir del cuadrado ABEF , cómo encontrar el punto S centro de una rotación de ángulo +135° que transforma el rayo ⁠${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$⁠ en rayo ⁠${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$⁠ ? Este es unproblema de ángulo inscrito más una cuestión de orientación . El conjunto de puntos P tales que${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$es un arco de círculo EA que une E y A , cuyos dos radios que conducen a E y A forman un ángulo central de 2(180° − 135°) = 2 × 45° = 90° . Este conjunto de puntos es el cuarto de círculo azul con centro F dentro del cuadrado ABEF . De la misma manera, el punto S es un miembro del cuarto de círculo azul con centro T dentro del cuadrado BCAT . Por lo tanto, el punto S es el punto de intersección de estos dos cuartos de círculo.

Un mapa biyectivo${\displaystyle f:M\to N}$La similitud entre espacios métricos se denomina similitud si${\displaystyle d(f(x),f(y))=c\cdot d(x,y)}$a pesar de${\displaystyle x,y\in M}$dónde${\displaystyle c>0}$. ^{[ 21 ]}

Las versiones más débiles de la similitud tendrían, por ejemplo, que f fuera una función bi- Lipschitz y el escalar r un límite .

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente autosimilar.

Un subconjunto autosimilar de un espacio métrico ( X , d ) es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f _s } _{s ∈ S} con factores de contracción 0 ≤ r _s < 1 tales que K es el único subconjunto compacto de X para el cual

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

Estos conjuntos autosimilares tienen una medida autosimilar μ ^D con dimensión D dada por la fórmula

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

que suele ser (pero no siempre) igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de empaquetamiento del conjunto . Si las superposiciones entre los f _s ( K ) son "pequeñas", tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

En topología , se puede construir un espacio métrico definiendo una similitud en lugar de una distancia . La similitud es una función cuyo valor aumenta cuando dos puntos están más cerca (a diferencia de la distancia, que es una medida de disimilitud : cuanto más cerca están los puntos, menor es la distancia).

La definición de similitud puede variar entre autores, dependiendo de las propiedades que se deseen. Las propiedades básicas comunes son:

1. Positivo definido:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. Se caracteriza por la similitud de un elemento consigo mismo ( autosimilitud ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

Se pueden invocar más propiedades, como por ejemplo:

• Reflectividad :${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$o
• Finitud :${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

El valor máximo suele fijarse en 1 (lo que crea la posibilidad de una interpretación probabilística de la similitud).

Nótese que, en el sentido topológico que se utiliza aquí, una similitud es una especie de medida . Este uso no es el mismo que la transformación de similitud de las secciones «  En el espacio euclidiano» y «  En espacios métricos generales» de este artículo.

La intuición para la noción de semejanza geométrica ya aparece en los niños, como se puede observar en sus dibujos. ^{[ 22 ]} Ciertos modelos de categorización perceptiva en psicología se basan en la semejanza geométrica, asumiendo que el aprendizaje implica el almacenamiento de instancias específicas (es decir, de especificaciones generales de objetos) en la memoria. La categorización de otro objeto se basa posteriormente en la similitud del objeto con las instancias en la memoria. ^{[ 23 ]}

• Teorema básico de proporcionalidad
• Transformación de Helmert
• Similitud espiral

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• Demostración animada de triángulos semejantes
• Un teorema fundamental de la semejanza : un esbozo ilustrativo de geometría dinámica.