Sistema de semejanza de triángulos

Un sistema de semejanza de triángulos es una configuración específica que involucra un conjunto de triángulos. ^{[ 1 ]} Un conjunto de triángulos se considera una configuración cuando todos los triángulos comparten al menos una relación de incidencia con uno de los otros triángulos presentes en el conjunto. ^{[ 1 ]} Una relación de incidencia entre triángulos se refiere a cuando dos triángulos comparten un punto. Por ejemplo, los dos triángulos de la derecha,${\displaystyle AHC}$y${\displaystyle BHC}$, son una configuración formada por dos relaciones de incidencia, ya que los puntos${\displaystyle C}$y${\displaystyle H}$son compartidos. Los triángulos que componen las configuraciones se conocen como triángulos componentes. ^{[ 1 ]} Los triángulos no solo deben ser parte de un conjunto de configuración para estar en un sistema de semejanza, sino que también deben ser directamente similares. ^{[ 1 ]} La semejanza directa implica que todos los ángulos son iguales entre dos triángulos dados y que comparten el mismo sentido de rotación. ^{[ 2 ]} Como se ve en las imágenes adyacentes, en los triángulos directamente similares, la rotación de${\displaystyle B}$sobre ${\displaystyle C}$y${\displaystyle B^{1}}$ sobre ${\displaystyle C^{1}}$ocurre en la misma dirección. En los triángulos semejantes opuestos, la rotación de${\displaystyle B}$sobre ${\displaystyle C}$y${\displaystyle B^{1}}$sobre ${\displaystyle C^{1}}$ocurre en la dirección opuesta. En resumen, una configuración es un sistema de semejanza cuando todos los triángulos del conjunto se encuentran en el mismo plano y se cumple lo siguiente: si hay n triángulos en el conjunto y n  −  1 triángulos son directamente semejantes, entonces n triángulos son directamente semejantes. ^{[ 1 ]}

JG Mauldon introdujo la idea de sistemas de semejanza de triángulos en su artículo en Mathematics Magazine "Triángulos semejantes". ^{[ 1 ]} Mauldon comenzó sus análisis examinando triángulos dados${\displaystyle ABC,XYZ}$para la similitud directa a través de números complejos, específicamente la ecuación${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}=0}$. ^{[ 1 ]} Luego extendió sus análisis a triángulos equiláteros, mostrando que si un triángulo${\displaystyle ABC}$satisfizo la ecuación${\displaystyle a+wb+w^{2}c=0}$cuando${\displaystyle w={\frac {-1+i\surd 3}{2}}}$, era equilátero. ^{[ 1 ]} Como evidencia de este trabajo, aplicó sus conjeturas sobre semejanza directa y triángulos equiláteros para demostrar el teorema de Napoleón . ^{[ 1 ]} Luego, partiendo de Napoleón, demostró que si se construía un triángulo equilátero con triángulos equiláteros incidentes en cada vértice, los puntos medios de las líneas que conectan los vértices no incidentes de los tres triángulos equiláteros exteriores crean un triángulo equilátero. ^{[ 1 ]} Otro trabajo similar fue realizado por el geómetra francés Thébault en su demostración de que, dado un paralelogramo y cuadrados que se encuentran a cada lado del paralelogramo, los centros de los cuadrados crean un cuadrado. ^{[ 3 ]} Mauldon luego analizó conjuntos coplanares de triángulos, determinando si eran sistemas de semejanza basados ​​en el criterio de que, si todos los triángulos menos uno eran directamente semejantes, entonces todos los triángulos son directamente semejantes. ^{[ 1 ]}

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  Ejemplo de similitud directa
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  Existen dos relaciones de incidencia entre los triángulos AHC y BHC.
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  Ejemplo de similitud opuesta
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  Teorema de Thébault
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  El teorema de Napoleón
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  Ejemplo de sistema de similitud
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  Ejemplo de sistema de no similitud
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  Paralelepípedo rectangular