Problemas de Simon

En matemáticas , los problemas de Simon (o problemas de Simon ) son una serie de quince preguntas planteadas en el año 2000 por Barry Simon , un físico matemático estadounidense . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Inspirados por otras colecciones de problemas matemáticos y conjeturas abiertas , como la famosa lista de David Hilbert , los problemas de Simon se refieren a operadores cuánticos . ^{[ 3 ]} Ocho de los problemas se refieren al comportamiento espectral anómalo de los operadores de Schrödinger, y cinco se refieren a operadores que incorporan el potencial de Coulomb . ^{[ 1 ] [ 4 ]}

En 2014, Artur Avila ganó una Medalla Fields por un trabajo que incluía la solución de tres problemas de Simon. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Entre ellos estaba el problema de demostrar que el conjunto de niveles de energía de un sistema cuántico abstracto particular era, de hecho, el conjunto de Cantor , un desafío conocido como el "Problema de los Diez Martinis" por la recompensa que Mark Kac ofreció por resolverlo. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La lista de 2000 fue un perfeccionamiento de un conjunto similar de problemas que Simon había planteado en 1984. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Definiciones de fondo para los problemas de "energías de Coulomb" (${\displaystyle N}$partículas no relativistas ( electrones ) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con giro${\displaystyle 1/2}$y un núcleo infinitamente pesado con carga${\displaystyle Z}$y la interacción mutua de Coulomb):

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}^{(N)}}$es el espacio de funciones en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3N};\mathbb {C} ^{2N})}$que son asimétricos bajo el intercambio de la${\displaystyle N}$coordenadas de espín y espacio. ^{[ 1 ]} De forma equivalente, el subespacio de${\displaystyle (L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\otimes \mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$que es asimétrico bajo el intercambio de la${\displaystyle N}$factores.
• El hamiltoniano es${\displaystyle H(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{|x_{i}|}})+\sum _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}}$. Aquí${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$es la coordenada de la ${\displaystyle i}$-ésima partícula,${\displaystyle \Delta _{i}}$es el laplaciano con respecto a la coordenada${\displaystyle x_{i}}$. Aunque el hamiltoniano no dependa explícitamente del estado del sector de espín, la presencia de espín tiene un efecto debido a la condición de asimetría en la función de onda total.
• Nosotros definimos${\displaystyle E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N,Z)}$, es decir, la energía del estado fundamental del${\displaystyle (N,Z)}$sistema.
• Nosotros definimos${\displaystyle N_{0}(Z)}$ser el valor más pequeño de${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle E(N+j,Z)=E(N,Z)}$para todos los enteros positivos${\displaystyle j}$; se sabe que tal número siempre existe y siempre está entre${\displaystyle Z}$y${\displaystyle 2Z}$, inclusive. ^{[ 1 ]}

Simon enumeró los siguientes problemas en 1984: ^{[ 8 ]}

En 2000, Simon afirmó que cinco de los problemas que enumeró se habían resuelto. ^{[ 1 ]}

Los problemas de Simon, tal como aparecen en 2000 (con las categorizaciones originales), son: ^{[ 1 ] [ 14 ]}

• Casi operador Mathieu
• Desigualdad de Lieb-Thirring

• "Los problemas de Simon" . MathWorld . Consultado el 13 de junio de 2018 .