Fórmula de Simons

En el campo matemático de la geometría diferencial , la fórmula de Simons (también conocida como identidad de Simons y, en algunas variantes, como desigualdad de Simons ) es una ecuación fundamental en el estudio de subvariedades mínimas . Fue descubierta por James Simons en 1968. ^{[ 1 ]} Puede considerarse como una fórmula para el laplaciano de la segunda forma fundamental de una subvariedad riemanniana . A menudo se cita y utiliza en su forma menos precisa, como fórmula o desigualdad para el laplaciano de la longitud de la segunda forma fundamental.

En el caso de una hipersuperficie M del espacio euclidiano , la fórmula afirma que

${\displaystyle \Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,}$

donde, en relación con una elección local del campo vectorial normal unitario , h es la segunda forma fundamental , H es la curvatura media y h ² es el 2-tensor simétrico en M dado por h ² _ij = g ^pq h _ip h _qj . ^{[ 2 ]} Esto tiene como consecuencia que

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})}$

donde A es el operador de forma . ^{[ 3 ]} En este contexto, la derivación es particularmente sencilla:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^{p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j}^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}}$

Las únicas herramientas involucradas son la ecuación de Codazzi (igualdades n.° 2 y 4), la ecuación de Gauss (igualdad n.° 4) y la identidad de conmutación para la diferenciación covariante (igualdad n.° 3). El caso más general de una hipersuperficie en una variedad riemanniana requiere términos adicionales relacionados con el tensor de curvatura de Riemann . ^{[ 4 ]} En el contexto aún más general de codimensión arbitraria, la fórmula involucra un polinomio complejo en la segunda forma fundamental. ^{[ 5 ]}

Notas a pie de página

Libros

• Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi, II. Un curso en superficies mínimas. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 121. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2011. xii+313 págs. ISBN 978-0-8218-5323-8
• Enrico Giusti. Superficies mínimas y funciones de variación acotada. Monografías en Matemáticas, 80. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1984. xii+240 pp. ISBN 0-8176-3153-4
• Leon Simon. Conferencias sobre teoría de la medida geométrica. Actas del Centro de Análisis Matemático, Universidad Nacional Australiana, 3. Universidad Nacional Australiana, Centro de Análisis Matemático, Canberra, 1983. vii+272 pp. ISBN 0-86784-429-9

Artículos

• SS Chern , M. do Carmo y S. Kobayashi . Subvariedades mínimas de una esfera con segunda forma fundamental de longitud constante. Functional Analysis and Related Fields (1970), 59–75. Actas de una conferencia en honor del profesor Marshall Stone, celebrada en la Universidad de Chicago, mayo de 1968. Springer, Nueva York. Editado por Felix E. Browder. doi : 10.1007/978-3-642-48272-4_2
• Gerhard Huisken. Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas. J. Geom diferencial. 20 (1984), núm. 1, 237–266. doi : 10.4310/jdg/1214438998
• Gerhard Huisken. Hipersuperficies convexas contraídas en variedades riemannianas mediante su curvatura media. Invent. Math. 84 (1986), n.º 3, 463–480. doi : 10.1007/BF01388742
• James Simons. Variedades mínimas en variedades riemannianas. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105. doi : 10.2307/1970556