Cono de Simons

En geometría y teoría de la medida geométrica , el cono de Simons se refiere a una hipersuperficie mínima específica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$que desempeña un papel crucial en la resolución del problema de Bernstein en dimensiones superiores. Recibe su nombre del matemático estadounidense Jim Simons .

El cono de Simons se define como la hipersuperficie dada por la ecuación

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} ^{8}|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}\subset \mathbb {R} ^{8}}$.

Este cono de 7 dimensiones tiene la propiedad distintiva de que su curvatura media se anula en todos los puntos excepto en el origen, donde el cono tiene una singularidad . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El teorema clásico de Bernstein establece que cualquier grafo mínimo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$debe ser un avión. Esto se extendió a${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$por Wendell Fleming en 1962 y Ennio De Giorgi en 1965, y a dimensiones de hasta${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$por Frederick J. Almgren Jr. en 1966 y a${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$por Jim Simons en 1968. La existencia del cono de Simons como un cono minimizador en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$demostró que el teorema de Bernstein no podía extenderse a${\displaystyle \mathbb {R} ^{9}}$y dimensiones superiores. Bombieri, De Giorgi y Enrico Giusti demostraron en 1969 que el cono de Simons minimiza el área, proporcionando así una respuesta negativa al problema de Bernstein en dimensiones superiores. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Superficie mínima
• El problema de Bernstein
• teoría de la medida geométrica

• J. Simons (1968), "Variedades mínimas en variedades riemannianas", Annals of Mathematics , 88, pp. 62-105