Curva

En matemáticas , una curva (también llamada línea curva en textos más antiguos) es un objeto similar a una línea , pero que no tiene por qué ser recta .

Intuitivamente, una curva puede pensarse como la huella dejada por un punto en movimiento . Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides : «La línea [curva] ^{[ a ]} es […] la primera especie de magnitud, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el flujo o recorrido del punto que […] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de longitud, exento de anchura». ^{[ 1 ]}

Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo en un espacio topológico mediante una función continua . En algunos contextos, la función que define la curva se llama parametrización , y la curva es una curva paramétrica . En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de curvas más restringidas, como las curvas diferenciables . Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; excepciones notables son las curvas de nivel (que son uniones de curvas y puntos aislados) y las curvas algebraicas (véase más adelante). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas , ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas .

No obstante, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas que no se parecen a lo que cabría esperar de una curva, o incluso que no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que llenan el espacio y las curvas fractales . Para garantizar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable , y entonces se dice que la curva es diferenciable .

Una curva algebraica plana es el conjunto de ceros de un polinomio en dos indeterminadas . De forma más general, una curva algebraica es el conjunto de ceros de un conjunto finito de polinomios que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un cuerpo $k$ , se dice que la curva está definida sobre $k$ . En el caso común de una curva algebraica real , donde $k$ es el cuerpo de los números reales , una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. Cuando se consideran ceros complejos , se tiene una curva algebraica compleja , que, desde el punto de vista topológico , no es una curva, sino una superficie , y a menudo se denomina superficie de Riemann . Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas sobre otros cuerpos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un cuerpo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna .

Historia

El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede apreciar en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que datan de la prehistoria. ^{[ 2 ]} Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, con un palo sobre la arena de la playa.

Históricamente, el término línea se usaba en lugar del término más moderno curva . De ahí que los términos línea recta y línea recta se usaran para distinguir lo que hoy llamamos líneas de las líneas curvas. Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclides , una línea se define como una "longitud sin anchura" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma" (Def. 4). La idea de línea de Euclides se aclara quizás con la afirmación "Los extremos de una línea son puntos" (Def. 3). ^{[ 3 ]} Comentaristas posteriores clasificaron aún más las líneas según varios esquemas. Por ejemplo: ^{[ 4 ]}

Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
Líneas no compuestas
- Determinadas (líneas que no se extienden indefinidamente, como el círculo)
- Indeterminadas (líneas que se extienden indefinidamente, como la línea recta y la parábola)

Los geómetras griegos habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones era su interés por resolver problemas geométricos que no podían resolverse utilizando la regla y el compás estándar . Estas curvas incluyen:

Las secciones cónicas, estudiadas en profundidad por Apolonio de Perga
El cisoide de Diocles , estudiado por Diocles y utilizado como método para duplicar el cubo . ^{[ 5 ]}
La concoide de Nicomedes , estudiada por Nicomedes como método para duplicar el cubo y trisecar un ángulo . ^{[ 6 ]}
La espiral de Arquímedes , estudiada por Arquímedes como método para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo . ^{[ 7 ]}
Las secciones espiricas , secciones de toros estudiadas por Perseo al igual que las secciones de conos habían sido estudiadas por Apolonio.

Un avance fundamental en la teoría de las curvas fue la introducción de la geometría analítica por René Descartes en el siglo XVII. Esto permitió describir una curva mediante una ecuación en lugar de una elaborada construcción geométrica. Esto no solo posibilitó la definición y el estudio de nuevas curvas, sino que también permitió establecer una distinción formal entre las curvas algebraicas , que pueden definirse mediante ecuaciones polinómicas , y las curvas trascendentales , que no. Anteriormente, las curvas se describían como «geométricas» o «mecánicas» según cómo se generaban, o supuestamente podían generarse. ^{[ 2 ]}

Kepler aplicó las secciones cónicas en astronomía .

Newton también trabajó en un ejemplo temprano del cálculo de variaciones . Las soluciones a problemas variacionales, como las cuestiones de la braquistócrona y la tautócrona , introdujeron propiedades de las curvas de formas novedosas (en este caso, la cicloide ). La catenaria recibe su nombre como solución al problema de una cadena colgante, un tipo de problema que se volvió accesible de forma rutinaria mediante el cálculo diferencial .

En el siglo XVIII surgieron los inicios de la teoría de las curvas algebraicas planas en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas , en la descripción general de los puntos reales como óvalos. El enunciado del teorema de Bézout reveló varios aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría de la época, relacionados con puntos singulares y soluciones complejas.

Desde el siglo XIX, la teoría de curvas se considera un caso especial de dimensión uno de la teoría de variedades y variedades algebraicas . Sin embargo, aún quedan muchas cuestiones específicas de las curvas, como las curvas que llenan el espacio , el teorema de la curva de Jordan y el decimosexto problema de Hilbert .

Curva topológica

Una curva topológica puede especificarse mediante una función continua. $\gamma \colon I\rightarrow X$ desde un intervalo $I$ de los números reales en un espacio topológico $X.$ En sentido estricto, la curva es la imagen de $\gamma .$ Sin embargo, en algunos contextos, $\gamma$ En sí se denomina curva, especialmente cuando la imagen no se parece a lo que generalmente se denomina curva y no la caracteriza suficientemente $\gamma .$

Por ejemplo, la imagen de la curva de Peano o, más generalmente, una curva que llena el espacio llena completamente un cuadrado y, por lo tanto, no da ninguna información sobre cómo $\gamma$ está definido.

Una curva $\gamma$ está cerrado ^{[ b ]} o es un bucle si $I=[a,b]$ y $\gamma (a)=\gamma (b)$ Una curva cerrada es, por lo tanto, la imagen de una representación continua de un círculo . Una curva no cerrada también puede denominarse curva abierta .

Si el dominio de una curva topológica es un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$ , la curva se llama trayectoria , también conocida como arco topológico (o simplementearco ).

Una curva es simple si es la imagen de un intervalo o un círculo mediante una función continua inyectiva . En otras palabras, si una curva está definida por una función continua $\gamma$ Con un intervalo como dominio, la curva es simple si y solo si dos puntos distintos cualesquiera del intervalo tienen imágenes distintas, excepto, posiblemente, si los puntos son los extremos del intervalo. Intuitivamente, una curva simple es una curva que "no se cruza a sí misma y no tiene puntos faltantes" (una curva continua que no se autointerseca). ^{[ 8 ]}

La hélice es un ejemplo de curva sesgada.

Una curva plana es una curva para la cual $X$ es el plano euclidiano —estos son los primeros ejemplos que se encuentran— o , en algunos casos, el plano proyectivo .Una curva espacial es una curva para la cual $X$ es al menos tridimensional ; una curva oblicuaUna curva espacial es aquella que no se encuentra en ningún plano (por ejemplo, una hélice ). Estas definiciones de curvas planas, espaciales y oblicuas también se aplican a las curvas algebraicas reales , aunque la definición anterior de curva no se aplica (una curva algebraica real puede ser disconexa ). Un término más antiguo para una curva espacial es "curva de doble curvatura", ya que se curva de dos maneras (con curvatura y torsión).

Una curva cerrada simple plana también se denomina curva de Jordan . Se define además como un bucle continuo no autointersecante en el plano. ^{[ 9 ]} El teorema de la curva de Jordan establece que el complemento de un conjunto en un plano de una curva de Jordan consta de dos componentes conexas (es decir, la curva divide el plano en dos regiones no intersecantes que son ambas conexas). La región acotada dentro de una curva de Jordan se conoce como dominio de Jordan .

La definición de curva incluye figuras que difícilmente pueden considerarse curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva puede cubrir un cuadrado en el plano ( curva que llena el espacio ), y una curva simple puede tener un área positiva. ^{[ 10 ]} Las curvas fractales pueden tener propiedades extrañas para el sentido común. Por ejemplo, una curva fractal puede tener una dimensión de Hausdorff mayor que uno (véase el copo de nieve de Koch ) e incluso un área positiva. Un ejemplo es la curva del dragón , que posee muchas otras propiedades inusuales.

Curva diferenciable

En términos generales, una curva diferenciable es una curva que se define como la imagen local de una función diferenciable inyectiva. $\gamma \colon I\rightarrow X$ desde un intervalo $I$ de los números reales en una variedad diferenciable $X$ , a menudo $\mathbb {R} ^{n}.$

Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto $C$ de $X$ donde cada punto de $C$ tiene un entorno $U$ tal que $C\cap U$ es difeomorfa a un intervalo de los números reales. En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno.

Arco diferenciable

En geometría euclidiana , un arco (símbolo: ⌒ ) es un subconjunto conexo de una curva diferenciable .

Los arcos de línea se denominan segmentos , rayos o líneas , dependiendo de cómo estén delimitados.

Un ejemplo común de curvatura es un arco de círculo , llamado arco circular .

En una esfera (o un esferoide ), un arco de un círculo máximo (o una elipse máxima ) se llama arco máximo .

Longitud de una curva

Si $X=\mathbb {R} ^{n}$ es el $n$ espacio euclidiano de -dimensiones, y si ${\displaystyle \gamma$ es una función inyectiva y continuamente diferenciable, entonces la longitud de $\gamma$ se define como la cantidad

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

La longitud de una curva es independiente de la parametrización. $\gamma$ .

En particular, la longitud $s$ de la gráfica de una función continuamente diferenciable $y=f(x)$ definido en un intervalo cerrado $[a,b]$ es

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

lo cual puede entenderse intuitivamente como el uso del teorema de Pitágoras a escala infinitesimal de forma continua a lo largo de toda la curva. ^{[ 11 ]}

En términos más generales, si $X$ es un espacio métrico con métrica $d$ Entonces podemos definir la longitud de una curva. ${\displaystyle \gamma$ por

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{y}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

donde el supremo es tomado sobre todo $n\in \mathbb {N}$ y todas las particiones $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ de $[a,b]$ .

Una curva rectificable es una curva con longitud finita . Una curva ${\displaystyle \gamma$ se denomina natural (o de velocidad unitaria o parametrizada por longitud de arco) si para cualquier $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ de tal manera que $t_{1}\leq t_{2}$ , tenemos

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

Si ${\displaystyle \gamma$ es una función Lipschitz-continua , entonces es automáticamente rectificable. Además, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivada métrica ) de $\gamma$ en $t\in [a,b]$ como

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|st|}}

y luego demostrar que

\operatorname {Longitud} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Velocidad} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

Geometría diferencial

Si bien los primeros ejemplos de curvas que se encuentran son en su mayoría curvas planas (es decir, en términos cotidianos, líneas curvas en el espacio bidimensional ), existen ejemplos obvios como la hélice , que existen naturalmente en tres dimensiones. La geometría, y también, por ejemplo, la mecánica clásica, requieren una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En la relatividad general , una línea de universo es una curva en el espacio-tiempo .

Si $X$ es una variedad diferenciable , entonces podemos definir la noción de curva diferenciable en $X$ Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local se puede tomar $X$ ser espacio euclidiano. Por otro lado, es útil ser más general, en el sentido de que (por ejemplo) es posible definir los vectores tangentes a $X$ mediante esta noción de curva.

Si $X$ es una variedad suave , una curva suave en $X$ es un mapa suave

\gamma \colon I\rightarrow X

.

Esta es una noción básica. También existen ideas menos y más restringidas. Si $X$ es un $C^{k}$ variedad (es decir, una variedad cuyos mapas de transición de la carta son $k$ veces continuamente diferenciable ), entonces un $C^{k}$ curva en $X$ es tal curva que solo se supone que es $C^{k}$ (es decir $k$ veces continuamente diferenciable). Si $X$ es una variedad analítica (es decir, infinitamente diferenciable y las cartas se pueden expresar como series de potencias ), y $\gamma$ es un mapa analítico, entonces $\gamma$ Se dice que es una curva analítica .

Se dice que una curva diferenciable esregular si suderivadanunca se desvanece. (En otras palabras, una curva regular nunca se detiene ni retrocede sobre sí misma). Dos $C^{k}$ curvas diferenciables

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

y

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

Se dice que son equivalentes si existe una biyectiva. $C^{k}$ mapa

p\colon J\rightarrow I

de tal manera que el mapa inverso

p^{-1}\colon I\rightarrow J

también lo es $C^{k}$ , y

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

a pesar de $t$ El mapa $\gamma _{2}$ se denomina reparametrización de $\gamma _{1}$ ; y esto establece una relación de equivalencia en el conjunto de todos $C^{k}$ curvas diferenciables en $X$ . A $C^{k}$ arco es una clase de equivalencia de $C^{k}$ curvas bajo la relación de reparametrización.

Curva algebraica

Las curvas algebraicas son las curvas consideradas en geometría algebraica . Una curva algebraica plana es el conjunto de puntos con coordenadas $x, y$ tales que $f (x, y) = 0$ , donde $f$ es un polinomio en dos variables definido sobre un cuerpo $F.$ Se dice que la curva está definida sobre $F.$ La geometría algebraica normalmente considera no solo los puntos con coordenadas en $F$ , sino todos los puntos con coordenadas en un cuerpo algebraicamente cerrado $K.$

Si C es una curva definida por un polinomio f con coeficientes en F , se dice que la curva está definida sobre F.

En el caso de una curva definida sobre los números reales , normalmente se consideran puntos con coordenadas complejas . En este caso, un punto con coordenadas reales es un punto real , y el conjunto de todos los puntos reales es la parte real de la curva. Por lo tanto, solo la parte real de una curva algebraica puede ser una curva topológica (aunque no siempre es así, ya que la parte real de una curva algebraica puede estar desconectada y contener puntos aislados). La curva completa, es decir, el conjunto de sus puntos complejos, es, desde el punto de vista topológico, una superficie. En particular, las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares se denominan superficies de Riemann .

Los puntos de una curva $C$ con coordenadas en un cuerpo $G$ se denominan racionales sobre $G$ y se pueden denotar $C (G)$ . Cuando $G$ es el cuerpo de los números racionales , simplemente se habla de puntos racionales . Por ejemplo, el último teorema de Fermat se puede reformular como: Para $n > 2$ , todo punto racional de la curva de Fermat de grado $n$ tiene una coordenada cero .

Las curvas algebraicas también pueden ser curvas espaciales, o curvas en un espacio de dimensión superior, digamos $n$ . Se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. Se pueden obtener como soluciones comunes de al menos $n - 1$ ecuaciones polinómicas en $n$ variables. Si $n - 1$ polinomios son suficientes para definir una curva en un espacio de dimensión $n$ , se dice que la curva es una intersección completa . Al eliminar variables (mediante cualquier herramienta de la teoría de la eliminación ), una curva algebraica puede proyectarse sobre una curva algebraica plana , lo que, sin embargo, puede introducir nuevas singularidades como cúspides o puntos dobles .

Una curva plana también puede completarse a una curva en el plano proyectivo : si una curva se define mediante un polinomio $f$ de grado total $d$ , entonces $w d f (u / w, v / w)$ se simplifica a un polinomio homogéneo $g (u, v, w)$ de grado $d$ . Los valores de $u, v, w$ tales que $g (u, v, w) = 0$ son las coordenadas homogéneas de los puntos de la completación de la curva en el plano proyectivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales que $w$ no es cero. Un ejemplo es la curva de Fermat $u n + v n = w n$ , que tiene una forma afín $x n + y n = 1$ . Un proceso de homogeneización similar puede definirse para curvas en espacios de dimensiones superiores.

Excepto las líneas rectas , los ejemplos más simples de curvas algebraicas son las cónicas , que son curvas no singulares de grado dos y género cero. Las curvas elípticas , que son curvas no singulares de género uno, se estudian en teoría de números y tienen importantes aplicaciones en criptografía .

Véase también

Notas

↑ En el uso matemático actual, una línea es recta. Anteriormente, las líneas podían ser curvas o rectas.
↑ Este término puede ser ambiguo, ya que una curva no cerrada puede ser un conjunto cerrado , al igual que una línea en un plano.

Referencias

^ En francés (bastante antiguo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, except de toute latitude". Páginas 7 y 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demostrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
1 2 Lockwood pág. ix
↑ Heath pág. 153
↑ Heath pág. 160
↑ Lockwood pág. 132
↑ Lockwood pág. 129
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Espiral de Arquímedes" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
↑ "Definición de arco de Jordania en Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc." . Dictionary.reference.com . Consultado el 14 de marzo de 2012 .
↑ Sulovský, Marek (2012). Profundidad, cruces y conflictos en geometría discreta . Logos Verlag Berlin GmbH. pág. 7. ISBN 9783832531195.
↑ Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva" . Transactions of the American Mathematical Society . 4 (1). American Mathematical Society : 107–112 . doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
↑ Davis, Ellery W.; Brenke, William C. (1913). El cálculo . MacMillan Company. pág. 108. ISBN 9781145891982.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Lecturas adicionales

AS Parkhomenko (2001) [1994], "Línea (curva)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
BI Golubov (2001) [1994], "Curva rectificable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Euclides , comentario y traducción de T.L. Heath, Elementos, vol. 1 (1908, Cambridge). Google Books.
EH Lockwood, Un libro de curvas (1961, Cambridge)

Enlaces externos

Índice de curvas famosas , Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia
Curvas matemáticas: Una colección de 874 curvas matemáticas bidimensionales.
Galería de curvas espaciales creadas a partir de círculos, incluye animaciones de Peter Moses.
Galería de curvas episcopales y otras curvas esféricas, incluye animaciones de Peter Moses.
Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre líneas .
Página del Atlas de Variedades sobre 1-variedades .

[1] En el uso matemático actual, una línea es recta. Anteriormente, las líneas podían ser curvas o rectas.

[9] Este término puede ser ambiguo, ya que una curva no cerrada puede ser un conjunto cerrado , al igual que una línea en un plano.

[2] En francés (bastante antiguo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, except de toute latitude". Páginas 7 y 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demostrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] 1 2 Lockwood pág. ix

[4] Heath pág. 153

[5] Heath pág. 160

[6] Lockwood pág. 132

[7] Lockwood pág. 129

[8] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Espiral de Arquímedes" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews

[10] "Definición de arco de Jordania en Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc." . Dictionary.reference.com . Consultado el 14 de marzo de 2012 .

[11] Sulovský, Marek (2012). Profundidad, cruces y conflictos en geometría discreta . Logos Verlag Berlin GmbH. pág. 7. ISBN 9783832531195.

[12] Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva" . Transactions of the American Mathematical Society . 4 (1). American Mathematical Society : 107–112 . doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[13] Davis, Ellery W.; Brenke, William C. (1913). El cálculo . MacMillan Company. pág. 108. ISBN 9781145891982.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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