movimiento armónico simple

En mecánica y física , el movimiento armónico simple (a veces abreviado como MAS ) es un tipo especial de movimiento periódico que experimenta un objeto mediante una fuerza restauradora cuya magnitud es directamente proporcional a la distancia del objeto a una posición de equilibrio y actúa hacia dicha posición. Esto da como resultado una oscilación descrita por una sinusoide que continúa indefinidamente (si no hay fricción ni ninguna otra disipación de energía ). ^{[ 1 ]}

El movimiento armónico simple puede servir como modelo matemático para diversos movimientos, pero se caracteriza por la oscilación de una masa unida a un resorte cuando está sujeta a la fuerza elástica lineal restauradora dada por la ley de Hooke . El movimiento es sinusoidal en el tiempo y presenta una única frecuencia de resonancia . Otros fenómenos pueden modelarse mediante el movimiento armónico simple, incluido el movimiento de un péndulo simple , aunque para que sea un modelo preciso, la fuerza neta sobre el objeto en el extremo del péndulo debe ser proporcional al desplazamiento (e incluso así, solo es una buena aproximación cuando el ángulo de oscilación es pequeño; véase la aproximación de ángulo pequeño ). El movimiento armónico simple también puede utilizarse para modelar la vibración molecular .

El movimiento armónico simple proporciona una base para la caracterización de movimientos periódicos más complejos mediante las técnicas del análisis de Fourier .

El movimiento de una partícula que se desplaza a lo largo de una línea recta con una aceleración cuya dirección siempre apunta hacia un punto fijo en la línea y cuya magnitud es proporcional al desplazamiento desde dicho punto fijo se denomina movimiento armónico simple. ^{[ 2 ]}

En el diagrama se muestra un oscilador armónico simple , que consiste en una masa unida a un extremo de un resorte. El otro extremo del resorte está conectado a un soporte rígido, como una pared. Si el sistema se deja en reposo en la posición de equilibrio , no actúa ninguna fuerza neta sobre la masa. Sin embargo, si la masa se desplaza de la posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza elástica restauradora que obedece la ley de Hooke .

Matemáticamente, $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x},}$$ donde F es la fuerza elástica restauradora ejercida por el resorte (en unidades del SI : N ), k es la constante del resorte ( N ·m⁻¹ ⁾ y x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio (en metros ).

Para cualquier oscilador armónico mecánico simple:

• Cuando el sistema se desplaza de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora que obedece la ley de Hooke tiende a devolver el sistema al movimiento lineal.

Una vez que la masa se desplaza de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora neta. Como resultado, acelera y comienza a regresar a la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye. En la posición de equilibrio, la fuerza restauradora neta se anula. Sin embargo, en x = 0 , la masa tiene momento lineal debido a la aceleración que le ha impartido la fuerza restauradora. Por lo tanto, la masa continúa su trayectoria más allá de la posición de equilibrio, comprimiendo el resorte. Una fuerza restauradora neta la frena entonces hasta que su velocidad llega a cero, momento en el que acelera de nuevo hasta la posición de equilibrio.

Mientras el sistema no sufra pérdidas de energía , la masa continúa oscilando. Por lo tanto, el movimiento armónico simple es un tipo de movimiento periódico . Si el sistema pierde energía, la masa presenta una oscilación amortiguada .

Cabe señalar que si el espacio real y el espacio de fases no son colineales, el movimiento en el espacio de fases se vuelve elíptico. El área encerrada depende de la amplitud y del momento máximo.

En mecánica newtoniana , para un movimiento armónico simple unidimensional, la ecuación de movimiento, que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes , se puede obtener mediante la segunda ley de Newton y la ley de Hooke para una masa unida a un resorte .

$${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$ donde m es la masa inercial del cuerpo oscilante, x es su desplazamiento desde la posición de equilibrio (o media) y k es una constante (la constante elástica de una masa unida a un resorte).

Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$$

Al resolver la ecuación diferencial anterior se obtiene una solución que es una función sinusoidal : ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$dónde${\textstyle {\omega }={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ El significado de las constantes${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Se puede encontrar fácilmente: configuración${\displaystyle t=0}$En la ecuación anterior vemos que${\displaystyle x(0)=c_{1}}$, de modo que${\displaystyle c_{1}}$es la posición inicial de la partícula,${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$; derivando esa ecuación y evaluándola en cero obtenemos que${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$, de modo que${\displaystyle c_{2}}$es la velocidad inicial de la partícula dividida por la frecuencia angular,${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}$Por lo tanto, podemos escribir: $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

Esta ecuación también se puede escribir de la siguiente forma: $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$ dónde

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

o equivalentemente

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

En la solución, c ₁ y c ₂ son dos constantes determinadas por las condiciones iniciales (específicamente, la posición inicial en el instante t = 0 es c ₁ , mientras que la velocidad inicial es c ₂ ω ), y el origen se establece como la posición de equilibrio. ^[A] Cada una de estas constantes tiene un significado físico del movimiento: A es la amplitud (desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio), ω = 2 πf es la frecuencia angular y φ es la fase inicial . ^[B]

Utilizando las técnicas del cálculo , se puede hallar la velocidad y la aceleración en función del tiempo: $${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi),}$$

• Velocidad:${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• Velocidad máxima: v = ωA (en el punto de equilibrio)

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• Aceleración máxima: Aω ² (en los puntos extremos)

Por definición, si una masa m está sometida a un movimiento armónico simple, su aceleración es directamente proporcional al desplazamiento. $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ dónde $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

Dado que ω = 2 πf , $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$ y, puesto que T = 1 / f , donde T es el período de tiempo, $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Estas ecuaciones demuestran que el movimiento armónico simple es isócrono (el período y la frecuencia son independientes de la amplitud y la fase inicial del movimiento).

Sustituyendo ω ² por ⁠ k / m ⁠ , la energía cinética K del sistema en el instante t es $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ y la energía potencial es $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ En ausencia de fricción y otras pérdidas de energía, la energía mecánica total tiene un valor constante. $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

Los siguientes sistemas físicos son algunos ejemplos de osciladores armónicos simples .

yugo escocés

Un mecanismo de yugo escocés permite convertir el movimiento rotacional en movimiento lineal alternativo. El movimiento lineal puede adoptar diversas formas según la geometría de la ranura, pero el yugo básico, con una velocidad de rotación constante, produce un movimiento lineal de forma armónica simple.

• Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (2005). Mecánica analítica (7.ª  ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.
• Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Dinámica clásica de partículas y sistemas (5.ª  ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
• Walker, Jearl (2011). Principios de física (9.ª  ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

• Movimiento armónico simple de HyperPhysics
• Simulación en Java de un oscilador masa-resorte
• Applet de Geogebra para masa-resorte, con 3 archivos PDF adjuntos sobre movimiento armónico simple (MAS), osciladores accionados/amortiguados y masa-resorte con fricción.