Tensor (definición intrínseca)

En matemáticas , el enfoque moderno sin componentes para la teoría de un tensor considera a un tensor como un objeto abstracto que expresa un tipo definido de concepto multilineal . Sus propiedades se pueden derivar de sus definiciones, como aplicaciones lineales o de forma más general, y las reglas para la manipulación de tensores surgen como una extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal .

En geometría diferencial , una expresión geométrica intrínseca puede describirse mediante un campo tensorial en una variedad , sin necesidad de hacer referencia a coordenadas. Lo mismo ocurre en la relatividad general , donde los campos tensoriales describen una propiedad física . Este enfoque sin componentes también se utiliza ampliamente en álgebra abstracta y álgebra homológica , donde los tensores surgen de forma natural.

Dado un conjunto finito { V ₁ , ..., V _n } de espacios vectoriales sobre un cuerpo común F , se puede formar su producto tensorial V ₁ ⊗ ... ⊗ V _n , un elemento del cual se denomina tensor .

Un tensor en el espacio vectorial V se define entonces como un elemento de (es decir, un vector en) un espacio vectorial de la forma: $${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$ donde V ^∗ es el espacio dual de V .

Si hay m copias de V y n copias de V ^∗ en nuestro producto, se dice que el tensor es de tipo ( m , n ) y contravariante de orden m y covariante de orden n y de orden total m + n . Los tensores de orden cero son simplemente los escalares (elementos del cuerpo F ), los de orden contravariante 1 son los vectores en V , y los de orden covariante 1 son las 1-formas en V ^∗ (por esta razón, los elementos de los dos últimos espacios se denominan a menudo vectores contravariantes y covariantes). El espacio de todos los tensores de tipo ( m , n ) se denota $${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$$

Ejemplo 1. Cuando${\displaystyle V}$es de dimensión finita, el espacio de tensores de tipo (1, 1) ,${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$es isomorfo de forma natural al espacio de transformaciones lineales de V a V.

Ejemplo 2. Cuando${\displaystyle V}$es de dimensión finita, una forma bilineal en un espacio vectorial real V ,${\displaystyle V\times V\to F,}$corresponde de forma natural a un tensor de tipo (0, 2) en${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$Un ejemplo de dicha forma bilineal puede definirse, denominado tensor métrico asociado , y generalmente se denota con la letra g .

El término rango de un tensor extiende la noción de rango de una matriz en álgebra lineal, aunque también se usa frecuentemente para referirse al orden (o grado) de un tensor. El rango de una matriz es el número mínimo de vectores columna necesarios para abarcar su rango . Por lo tanto, una matriz tiene rango uno si puede escribirse como un producto exterior de dos vectores distintos de cero: $${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$$ El rango de una matriz${\displaystyle A}$es el número mínimo de matrices de rango uno que suman${\displaystyle A}$: $${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$$

Un tensor simple (también llamado tensor de rango uno, tensor elemental o tensor descomponible ^{[ 1 ]} ) es un tensor que puede escribirse como un producto de tensores de la forma $${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$$ donde a , b , ..., d son distintos de cero y pertenecen a V o V ^* , es decir, si el tensor es distinto de cero y completamente factorizable . Todo tensor puede expresarse como una suma de tensores simples. El rango de un tensor T es el número mínimo de tensores simples cuya suma es igual ^a T. ^{[ 2} ]

El tensor cero tiene rango cero. Un tensor de orden distinto de cero (0 o 1) siempre tiene rango 1. El rango de un tensor de orden distinto de cero (2 o superior) es menor o igual que el producto de las dimensiones de todos los vectores, excepto los de mayor dimensión, en (una suma de productos de) los cuales se puede expresar el tensor, que es d ^{n −1} cuando cada producto es de n vectores de un espacio vectorial de dimensión finita d .

En índices, un tensor de rango 1 es un tensor de la forma $${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$$

El rango de un tensor de orden 2 coincide con el rango cuando el tensor se considera como una matriz , ^{[ 3 ]} y puede determinarse, por ejemplo, mediante la eliminación gaussiana . Sin embargo, el rango de un tensor de orden 3 o superior suele ser muy difícil de determinar, y las descomposiciones de rango bajo de tensores a veces son de gran interés práctico. ^{[ 4 ]} De hecho, el problema de encontrar el rango de un tensor de orden 3 sobre cualquier cuerpo finito es NP-completo , y sobre los racionales, es NP-difícil . ^{[ 5 ]} Las tareas computacionales, como la multiplicación eficiente de matrices y la evaluación eficiente de polinomios, pueden reformularse como el problema de evaluar simultáneamente un conjunto de formas bilineales.$${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$$ para entradas dadas x _i e y j _. Si se conoce una descomposición de bajo rango del tensor T , entonces se conoce una estrategia de evaluación eficiente . ^{[ 6 ]}

El espacio${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$Se puede caracterizar por una propiedad universal en términos de aplicaciones multilineales . Entre las ventajas de este enfoque se encuentra que permite demostrar que muchas aplicaciones lineales son "naturales" o "geométricas" (es decir, independientes de cualquier base elegida). La información computacional explícita se puede entonces escribir utilizando bases, y este orden de prioridades puede ser más conveniente que demostrar que una fórmula da lugar a una aplicación natural. Otro aspecto es que los productos tensoriales no se utilizan solo para módulos libres , y el enfoque "universal" se extiende más fácilmente a situaciones más generales.

Una función escalar definida sobre un producto cartesiano (o suma directa ) de espacios vectoriales. $${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$$ es multilineal si es lineal en cada argumento. El espacio de todas las aplicaciones multilineales de V ₁ × ... × V _N a W se denota L ^N ( V ₁ , ..., V _N ; W )  . Cuando N = 1 , una aplicación multilineal es simplemente una aplicación lineal ordinaria, y el espacio de todas las aplicaciones lineales de V a W se denota L ( V ; W ) .

La caracterización universal del producto tensorial implica que, para cada función multilineal $${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$$ (donde W puede representar el campo de escalares, un espacio vectorial o un espacio tensorial) existe una única función lineal $${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$$ de tal manera que $${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$$ para todo v _i en V y α _i en V ^∗ .

Utilizando la propiedad universal, se deduce que, cuando V es de dimensión finita , el espacio de tensores ( m , n ) admite un isomorfismo natural.$${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$$

Cada V en la definición del tensor corresponde a un V ^∗ dentro del argumento de las aplicaciones lineales, y viceversa. (Nótese que en el primer caso hay m copias de V y n copias de V ^∗ , y en el segundo caso viceversa). En particular, se tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$$

La geometría diferencial , la física y la ingeniería a menudo deben trabajar con campos tensoriales en variedades diferenciables . El término tensor se usa a veces como abreviatura de campo tensorial . Un campo tensorial expresa el concepto de un tensor que varía de un punto a otro en la variedad.

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