Teoremas sencillos en el álgebra de conjuntos

Los teoremas simples en el álgebra de conjuntos son algunas de las propiedades elementales del álgebra de unión ( operador infijo : ∪), intersección (operador infijo: ∩) y complemento de conjunto ( postfijo ') de conjuntos.

Estas propiedades presuponen la existencia de al menos dos conjuntos: un conjunto universal dado , denotado por U , y el conjunto vacío , denotado por {}. El álgebra de conjuntos describe las propiedades de todos los subconjuntos posibles de U , denominados conjunto potencia de U y denotados por P ( U ). Se supone que P ( U ) es cerrado bajo la unión, la intersección y el complemento de conjuntos. El álgebra de conjuntos es una interpretación o modelo del álgebra booleana , donde la unión, la intersección, el complemento de conjuntos, U y {} interpretan la suma , el producto , el complemento , 1 y 0 booleanos, respectivamente.

Las propiedades que se presentan a continuación se enuncian sin demostración , pero pueden derivarse de un pequeño número de propiedades consideradas como axiomas . Un "*" sigue la interpretación del álgebra de conjuntos del conjunto de postulados clásicos de Huntington (1904) para el álgebra booleana . Estas propiedades pueden visualizarse con diagramas de Venn . También se derivan del hecho de que P ( U ) es un retículo booleano . Las propiedades seguidas de "L" interpretan los axiomas del retículo .

Los cursos elementales de matemáticas discretas a veces dan a los estudiantes la impresión de que el tema de la teoría de conjuntos no es más que estas propiedades. Para más información sobre la teoría elemental de conjuntos, véase conjunto , teoría de conjuntos , álgebra de conjuntos y teoría ingenua de conjuntos . Para una introducción a la teoría de conjuntos de nivel superior, véase también teoría axiomática de conjuntos , número cardinal , número ordinal , teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , argumento diagonal de Cantor , primera demostración de no numerabilidad de Cantor , teorema de Cantor , teorema del buen ordenamiento , axioma de elección y lema de Zorn .

Las propiedades que se muestran a continuación incluyen una operación binaria definida, el complemento relativo , denotado por el operador infijo "\". El "complemento relativo de A en B ", denotado B  \ A , se define como ( A  ∪ B ′ ) ′ y como A ′  ∩ B .

PROPOSICIÓN 1. Para cualquier U y cualquier subconjunto A de U :

• {} ′ = U ;
• 'U' ′ = {};
• A  \ {}  = A ;
• {}  \ A  = {};
• A  ∩ {}  = {};
• A  ∪ {}  = A ; *
• A  ∩ U  = A ; *
• A  ∪ U  = U ;
• A ′ ∪ A = U ; *
• A ′ ∩ A = {}; *
• A  \ A  = {};
• U  \ A  = A ′ ;
• A  \ U  = {};
• A ′ ′  = A ;
• A  ∩ A  = A ;
• A  ∪ A  = A .

PROPOSICIÓN 2. Para cualesquiera conjuntos A , B y C :

• A  ∩ B  = B  ∩ A ; * L
• A  ∪ B  = B  ∪ A ; * L
• A ∪ ( A ∩ B ) = A ; L
• A ∩ ( A ∪ B ) = A ; L
• ( A ∪ B ) \ A = B \ A ;
• A  ∩ B  = {} si y solo si B  \ A  = B ;
• ( A ′ ∪ B ) ′ ∪ ( A ′ ∪ B ′ ) ′ = A ;
• ( A  ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ); L      
• ( A  ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ); L      
• C  \ ( A  ∩ B ) = ( C \ A ) ∪ ( C \ B );       
• C  \ ( A  ∪ B ) = ( C \ A ) ∩ ( C \ B );       
• C  \ ( B  \ A ) = ( C \ B ) ∪( C ∩ A );      
• ( B  \ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) \ A = B ∩ ( C \ A );          
• ( B  \ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) \ ( A \ C ).        

Las leyes distributivas :

•  A  ∩ ( B  ∪ C )  = ( A  ∩ B )  ∪ ( A  ∩ C ); *
•  A  ∪ ( B  ∩ C )  = ( A  ∪ B )  ∩ ( A  ∪ C ). *

PROPOSICIÓN 3. Algunas propiedades de ⊆:

• A  ⊆ B si y solo si A  ∩ B  = A ;
• A  ⊆ B si y solo si A  ∪ B  = B ;
• A  ⊆ B si y solo si B ′  ⊆ A ′ ;
• A  ⊆ B si y solo si A  \ B  = {};
• A  ∩ B  ⊆ A  ⊆ A  ∪ B .

• Lista de identidades y relaciones de conjuntos – Igualdades para combinaciones de conjuntos 

• Edward Huntington (1904) "Conjuntos de postulados independientes para el álgebra de la lógica", Transactions of the American Mathematical Society 5: 288-309.
• Whitesitt, JE (1961) Álgebra booleana y sus aplicaciones . Addison-Wesley. Reimpresión de Dover, 1999.