Ruido simplex

Una coordenada de entrada se transforma utilizando la fórmula

${\displaystyle x'=x+(x+y+\cdots )\cdot F,}$

${\displaystyle y'=y+(x+y+\cdots )\cdot F,}$

${\displaystyle \cdots ,}$

dónde

${\displaystyle F={\frac {{\sqrt {n+1}}-1}{n}}.}$

Esto tiene el efecto de colocar la coordenada en una red A ^* _n , que es esencialmente la disposición de vértices de un panal hipercúbico que ha sido aplastado a lo largo de su diagonal principal hasta que la distancia entre los puntos (0, 0, ..., 0) y (1, 1, ..., 1) se vuelve igual a la distancia entre los puntos (0, 0, ..., 0) y (1, 0, ..., 0).

La coordenada resultante ( x ' , y ' , ...) se utiliza luego para determinar en qué celda del hipercubo unitario sesgado se encuentra el punto de entrada, ( x _b ' = floor( x ' ), y _b ' = floor( y ' ), ...), y sus coordenadas internas ( x _i ' = x ' − x _b ' , y _i ' = y ' − y _b ' , ...).

Una vez determinado lo anterior, los valores de la coordenada interna ( x _i ' , y _i ' , ...) se ordenan en orden descendente para determinar en qué simplex del ortoesquema de Schläfli sesgado se encuentra el punto. Luego, el simplex resultante se compone de los vértices correspondientes a un recorrido ordenado de aristas desde (0, 0, ..., 0) hasta (1, 1, ..., 1), del cual hay n ! posibilidades, cada una de las cuales corresponde a una única permutación de la coordenada. En otras palabras, se comienza con la coordenada cero y se añaden sucesivamente unos comenzando con el valor correspondiente al mayor valor de la coordenada interna, hasta terminar con el menor.

Por ejemplo, el punto (0.4, 0.5, 0.3) estaría dentro del simplex con vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). La coordenada y _i ' es la mayor, por lo que se agrega primero. Luego le sigue la coordenada x _i ' y finalmente z _i ' .

Cada vértice del simplex se suma a la coordenada base del hipercubo sesgado y se le aplica una función hash para generar una dirección de gradiente pseudoaleatoria. Esta función hash puede implementarse de diversas maneras, aunque lo más común es usar una tabla de permutación o un esquema de manipulación de bits.

Se debe tener cuidado al seleccionar el conjunto de gradientes que se van a incluir, para minimizar los artefactos direccionales.

La contribución de cada uno de los n  +  1 vértices del simplex se factoriza mediante una suma de núcleos radialmente simétricos centrados alrededor de cada vértice. Primero, la coordenada no sesgada de cada uno de los vértices se determina utilizando la fórmula inversa.

${\displaystyle x=x'-(x'+y'+\cdots )\cdot G,}$

${\displaystyle y=y'-(x'+y'+\cdots )\cdot G,}$

${\displaystyle \cdots ,}$

dónde

${\displaystyle G={\frac {1-1/{\sqrt {n+1}}}{n}}.}$

Este punto se resta de la coordenada de entrada para obtener el vector de desplazamiento sin sesgo. Este vector de desplazamiento sin sesgo se utiliza para dos propósitos:

• Para calcular el valor del gradiente extrapolado usando un producto escalar .
• Para determinar d2 , la distancia al cuadrado hasta el punto ^.

A partir de ahí, la contribución sumada del núcleo de cada vértice se determina utilizando la expresión

${\displaystyle {\big (}\max(0,r^{2}-d^{2}){\big )}^{4}\cdot {\big (}\langle \Delta x,\Delta y,\dots \rangle \cdot \langle \operatorname {grad} x,\operatorname {grad} y,\dots \rangle {\big )},}$

donde r ² generalmente se establece en 0,5 o 0,6: el valor 0,5 garantiza que no haya discontinuidades, mientras que 0,6 puede aumentar la calidad visual en aplicaciones para las que las discontinuidades no son perceptibles; 0,6 se utilizó en la implementación de referencia original de Ken Perlin.