Profundidad simplicial

En estadística robusta y geometría computacional , la profundidad simplicial es una medida de tendencia central determinada por los símplices que contienen un punto dado. Para el plano euclidiano , cuenta el número de triángulos formados por puntos de muestra que contienen un punto dado.

La profundidad simplicial de un punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle d}$El espacio euclidiano de dimensión , con respecto a un conjunto de puntos de muestra en ese espacio, es el número de${\displaystyle d}$-símplices dimensionales (las envolturas convexas de conjuntos de${\displaystyle d+1}$puntos de muestra) que contienen${\displaystyle p}$. La misma noción puede generalizarse a cualquier distribución de probabilidad en puntos del espacio, no solo a la distribución empírica dada por un conjunto de puntos de muestra, definiendo la profundidad como la probabilidad de que un punto elegido al azar${\displaystyle (d+1)}$-tupla de puntos tiene una envoltura convexa que contiene${\displaystyle p}$. Esta probabilidad se puede calcular a partir del número de símplices que contienen${\displaystyle p}$, dividiendo por${\displaystyle {\tbinom {n}{d+1}}}$dónde${\displaystyle n}$es el número de puntos de muestreo. ^{[L88] [L90]}

Según la definición estándar de profundidad simplicial, los símplices que tienen${\displaystyle p}$en sus límites cuentan igualmente como los simples con${\displaystyle p}$en sus interiores. Para evitar algunos comportamientos problemáticos de esta definición, Burr, Rafalin y Souvaine (2004) propusieron una definición modificada de profundidad simplicial, en la que los símplices con${\displaystyle p}$en sus límites cuentan solo la mitad. Equivalentemente, su definición es el promedio del número de símplices abiertos y el número de símplices cerrados que contienen${\displaystyle p}$. ^[BRS]

La profundidad simplicial es robusta frente a valores atípicos: si un conjunto de puntos de muestra está representado por el punto de máxima profundidad, entonces hasta una fracción constante de los puntos de muestra puede corromperse arbitrariamente sin cambiar significativamente la ubicación del punto representativo. También es invariante bajo transformaciones afines del plano. ^{[D] [ZS] [BRS]}

Sin embargo, la profundidad simplicial carece de otras propiedades deseables para ser considerada una medida robusta de tendencia central. Al aplicarse a distribuciones con simetría central, no necesariamente existe un único punto de máxima profundidad en el centro de la distribución. Además, a lo largo de una línea que parte del punto de máxima profundidad, la profundidad simplicial no necesariamente disminuye monótonamente. ^{[ZS] [BRS]}

Para conjuntos de${\displaystyle n}$puntos de muestra en el plano euclidiano (${\displaystyle d=2}$), la profundidad simplicial de cualquier otro punto${\displaystyle p}$se puede calcular en tiempo${\displaystyle O(n\log n)}$, ^{[KM] [GSW] [RR]} óptimo en algunos modelos de computación. ^[ACG] En tres dimensiones, el mismo problema puede resolverse en tiempo${\displaystyle O(n^{2})}$. ^[CO]

Es posible construir una estructura de datos utilizando ε-nets que puede aproximar la profundidad simplicial de un punto de consulta (dado un conjunto fijo de muestras o un conjunto de muestras con inserciones de puntos) en un tiempo casi constante por consulta, en cualquier dimensión, con una aproximación cuyo error es una pequeña fracción del número total de triángulos determinados por las muestras. ^[BCE] En dos dimensiones, se conoce un algoritmo de aproximación más preciso, para el cual el error de aproximación es un pequeño múltiplo de la propia profundidad simplicial. Los mismos métodos también dan lugar a algoritmos de aproximación rápidos en dimensiones superiores. ^[ASS]

Profundidad esférica ,${\displaystyle SphD(q;F)}$se define como la probabilidad de que un punto${\displaystyle q}$está contenido dentro de una hiperbola cerrada aleatoria obtenida a partir de un par de puntos de${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$Mientras que la complejidad temporal de la mayoría de las demás profundidades de datos crece exponencialmente, la profundidad esférica crece solo linealmente en la dimensión.${\displaystyle d}$– el algoritmo sencillo para calcular la profundidad esférica toma${\displaystyle O(dn^{2})}$. La profundidad simplicial (SD) está limitada linealmente por la profundidad esférica (${\displaystyle SphD\geq {\frac {2}{3}}SD}$). ^[BS]