La regla de Simpson

En la integración numérica , las reglas de Simpson son varias aproximaciones para integrales definidas , que reciben su nombre de Thomas Simpson (1710-1761).

La más básica de estas reglas, llamada regla de Simpson 1/3 , o simplemente regla de Simpson , dice: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

En alemán y otros idiomas, recibe su nombre de Johannes Kepler , quien la derivó en 1615 tras observar su aplicación en barricas de vino (regla de la barrica, Keplersche Fassregel ). La igualdad aproximada de la regla se vuelve exacta si f es un polinomio de hasta tercer grado inclusive.

Si se aplica la regla 1/3 a n subdivisiones iguales del intervalo de integración [ a , b ], se obtiene la regla compuesta de Simpson 1/3 . A los puntos dentro del intervalo de integración se les asignan pesos alternos de 4/3 y 2/3. 

La regla de Simpson 3/8 , también llamada segunda regla de Simpson , requiere una evaluación más de la función dentro del rango de integración y proporciona límites de error más bajos, pero no mejora el orden del error.

Si se aplica la regla 3/8 a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a , b ], se obtiene la regla compuesta de Simpson 3/8 . 

Las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 son dos casos especiales de fórmulas cerradas de Newton-Cotes .

En arquitectura naval y estimación de estabilidad de buques, también existe la tercera regla de Simpson , que no tiene especial importancia en el análisis numérico general , ver reglas de Simpson (estabilidad de buques) .

La regla de Simpson 1/3, también llamada simplemente regla de Simpson, es un método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cuadrática y es la regla compuesta de Simpson 1/3 evaluada para${\displaystyle n=2}$La regla de Simpson de 1/3 es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle h=(ba)/n}$es el tamaño del paso para${\displaystyle n=2}$.

El error al aproximar una integral mediante la regla de Simpson para${\displaystyle n=2}$es $${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$ dónde${\displaystyle \xi }$(la letra griega xi ) es algún número entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El error es asintóticamente proporcional a${\displaystyle (b-a)^{5}}$Sin embargo, las derivaciones anteriores sugieren un error proporcional a${\displaystyle (b-a)^{4}}$La regla de Simpson adquiere un orden adicional porque los puntos en los que se evalúa el integrando se distribuyen simétricamente en el intervalo${\displaystyle [a,\ b]}$.

Dado que el término de error es proporcional a la cuarta derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle \xi }$Esto demuestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio.${\displaystyle f}$de grado tres o menor, ya que la cuarta derivada de dicho polinomio es cero en todos los puntos. Otra forma de ver este resultado es observar que cualquier polinomio cúbico interpolador puede expresarse como la suma del polinomio cuadrático interpolador único más un polinomio cúbico de escala arbitraria que se anula en los tres puntos del intervalo, y la integral de este segundo término se anula porque es impar dentro del intervalo.

Si la segunda derivada${\displaystyle f''}$existe y es convexa en el intervalo${\displaystyle (a,\ b)}$, entonces $${\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

Ejemplos

Aproximación del logaritmo natural de 2

Desde

$${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2),}$$

aproximaciones de${\displaystyle \ln(2)}$se puede generar aproximando esta integral. Aplicando la regla compuesta de Simpson 1/3 con${\displaystyle n=6}$los intervalos dan $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(2)=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx&\approx {\frac {1}{18}}\left(\ 1+{\frac {24}{7}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {8}{3}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {24}{11}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 0.69316,\end{aligned}}}$$

que tiene un error relativo de aproximadamente${\displaystyle 0.003\%}$.

Una aplicación a la estadística

En estadística , cuando los datos tienden alrededor de un valor central sin sesgo hacia la izquierda o la derecha, se dice que tienen una distribución normal . En el caso de que la media sea cero y la desviación estándar sea 1, se dice que la curva sigue la distribución normal estándar (o gaussiana estándar ). ^{[ 5 ]} La ecuación de esta distribución es

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right).}$$

Según la regla 68–95–99.7 , aproximadamente el 68.27% de los valores se encuentran dentro de una sola desviación estándar de la media, por lo que

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.6827.$

Este resultado se puede verificar con la regla compuesta de Simpson 1/3, aplicando la regla con${\displaystyle n=6}$los intervalos dan $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.71142\\&\approx 0.6827,\end{aligned}}}$$

Como era de esperar.

De manera similar, la regla 68–95–99.7 dice que aproximadamente el 95.45% de los valores están dentro de dos desviaciones estándar de la media, por lo que

${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.9545.}$

Como antes, este resultado se puede verificar con la regla compuesta de Simpson 1/3, aplicando la regla con${\displaystyle n=6}$los intervalos dan $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {2}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 2.39167\\&\approx 0.9541,\end{aligned}}}$$

que tiene un error relativo de aproximadamente${\displaystyle 0.0419\%}$El intervalo de integración se puede acortar (reduciendo así el error de discretización ) al observar que el integrando es una función par , por lo que

$${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx=2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx.}$$

Una vez más, aplicando la regla compuesta de Simpson 1/3 con${\displaystyle n=6}$los intervalos dan $${\displaystyle {\begin{aligned}2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ 1+{\frac {4}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {25}{18}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.19626\\&\approx 0.9544,\end{aligned}}}$$

que tiene un error relativo mejorado de aproximadamente${\displaystyle 0.0104\%}$pero con el mismo número de intervalos.

Aproximando π

Desde

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}},}$$

Esto se puede reorganizar para dar

$${\displaystyle \pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.}$$

Por lo tanto, aproximaciones de${\displaystyle \pi }$se puede generar aproximando esta integral. Aplicando la regla compuesta de Simpson 1/3 con${\displaystyle n=6}$los intervalos dan $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx&\approx {\frac {2}{9}}\left(\ 1+{\frac {144}{37}}+{\frac {9}{5}}+{\frac {16}{5}}+{\frac {18}{13}}+{\frac {144}{61}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 3.141591,\end{aligned}}}$$

que, sorprendentemente, solo tiene un error relativo de aproximadamente${\displaystyle 0.00002\%}$.

Determinar el número de intervalos para obtener la precisión deseada.

Supongamos que deseamos determinar el número de intervalos necesarios para aproximar${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx}$con un error absoluto de menos de${\displaystyle 0.00001}$El término de error en la regla compuesta de Simpson 1/3 es

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )}$$

para algunos${\displaystyle \xi }$entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \pi }$Dado que el error absoluto debe ser menor que${\displaystyle 0.00001}$, podemos calcular

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{4}}{180}}={\frac {\pi ^{5}}{180n^{4}}}<0.00001}$$

lo cual da

$${\displaystyle n>{\sqrt[{4}]{\frac {\pi ^{5}}{0.0018}}}\approx 20.3,}$$

entonces${\displaystyle n=22}$generará la precisión requerida.

Para fines comparativos, supongamos que deseamos asegurarnos de este grado de precisión utilizando la regla trapezoidal compuesta . En este caso, el término de error es

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )}$$

para algunos${\displaystyle \xi }$entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \pi }$Dado que el error absoluto debe ser menor que${\displaystyle 0.00001}$, podemos calcular

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{2}}{12}}={\frac {\pi ^{3}}{12n^{2}}}<0.00001}$$

lo cual da

$${\displaystyle n>{\sqrt {\frac {\pi ^{3}}{0.00012}}}\approx 508.3,}$$

entonces${\displaystyle n=509}$Esto garantizará la precisión requerida. Esto implica muchos más cálculos en comparación con la regla compuesta de Simpson de 1/3.

La regla de Simpson 3/8, también llamada segunda regla de Simpson, es otro método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cúbica en lugar de una interpolación cuadrática.

Considere encontrar el área,${\displaystyle A}$, bajo una ecuación cúbica general${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$entre${\displaystyle x=-h}$y${\displaystyle x=2h}$para algún número positivo${\displaystyle h}$Esto viene dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{-h}^{2h}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right)\,dx\\[1ex]&=\left[{\frac {1}{4}}ax^{4}+{\frac {1}{3}}bx^{3}+{\frac {1}{2}}cx^{2}+dx\right]_{x=-h}^{x=2h}\\[1ex]&=\left(4ah^{4}+{\frac {8}{3}}bh^{3}+2ch^{2}+2dh\right)-\left({\frac {1}{4}}ah^{4}-{\frac {1}{3}}bh^{3}+{\frac {1}{2}}ch^{2}-dh\right)\\[1ex]&={\frac {15}{4}}ah^{4}+3bh^{3}+{\frac {3}{2}}ch^{2}+3dh\\[1ex]&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right].\end{aligned}}}$$

Suponiendo que cuatro puntos igualmente espaciados en el intervalo de integración son${\displaystyle (-h,y_{0})}$,${\displaystyle (0,y_{1})}$,${\displaystyle (h,y_{2})}$y${\displaystyle (2h,y_{3})}$Sustituyendo estos cuatro puntos en la fórmula cúbica se obtiene

$${\displaystyle y_{0}=-ah^{3}+bh^{2}-ch+d}$$$${\displaystyle y_{1}=d}$$$${\displaystyle y_{2}=ah^{3}+bh^{2}+ch+d}$$$${\displaystyle y_{3}=8ah^{3}+4bh^{2}+2ch+d.}$$

Sumando la primera y la tercera ecuación se obtiene

$${\displaystyle y_{0}+y_{2}=2bh^{2}+2d}$$

y sumando la cuarta ecuación al doble de la tercera ecuación se obtiene

$${\displaystyle y_{3}+2y_{2}=10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d.}$$

Ahora tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[\underbrace {10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d} _{y_{3}+2y_{2}}+\underbrace {2bh^{2}+2d} _{y_{0}+y_{2}}+3\underbrace {d} _{y_{1}}\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3}\right].\end{aligned}}}$$

La regla 3/8 de Simpson aproxima una integral definida sobre un intervalo [a, b] reemplazando el integrando con una función cúbica que interpola la función en cuatro puntos igualmente espaciados.${\displaystyle x=a}$,${\displaystyle x=a+h}$,${\displaystyle x=a+2h}$y${\displaystyle x=a+3h=b}$, dónde${\displaystyle h={\frac {b-a}{3}}}$es el tamaño del paso. Esto da

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx A&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right].\end{aligned}}}$$

El error de este método es $${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$ dónde${\displaystyle \xi }$es algún número entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Por lo tanto, la regla 3/8 es aproximadamente el doble de precisa que el método estándar, pero utiliza un valor de función adicional. También existe una regla 3/8 compuesta, similar a la anterior. ^{[ 6 ]}

Una generalización adicional de este concepto para la interpolación con polinomios de grado arbitrario son las fórmulas de Newton-Cotes .

Esta es otra formulación de una regla de Simpson compuesta: en lugar de aplicar la regla de Simpson a segmentos disjuntos de la integral que se va a aproximar, la regla de Simpson se aplica a segmentos superpuestos, lo que produce ^{[ 7 ].}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h{\bigg [}&17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})\\+&48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})\\+&49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n}){\bigg ]}\end{aligned}}}$$ La fórmula anterior se obtiene combinando la regla compuesta de Simpson 1/3 con la que consiste en usar la regla de Simpson 3/8 en los subintervalos extremos y la regla de Simpson 1/3 en los subintervalos restantes. El resultado se obtiene calculando la media de ambas fórmulas.

Para algunas aplicaciones, el intervalo de integración${\displaystyle I=[a,b]}$es necesario dividirlo en intervalos desiguales , tal vez debido a un muestreo desigual de los datos o a puntos de datos faltantes o corruptos. Supongamos que dividimos el intervalo${\displaystyle I}$en un número par${\displaystyle N}$de subintervalos de anchos${\displaystyle h_{k}}$. Entonces, la regla compuesta de Simpson viene dada por ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$ dónde $${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$ son los valores de la función en el${\displaystyle k}$punto de muestreo en el intervalo${\displaystyle I}$.

En caso de un número impar${\displaystyle N}$de subintervalos , la fórmula anterior se utiliza hasta el penúltimo intervalo, y el último intervalo se maneja por separado agregando lo siguiente al resultado: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

El siguiente pseudocódigo describe las distintas formas de la regla de Simpson.

Entrada: Función de valor real, f Límite inferior de integración, a Límite superior de integración, b Número de intervalos, n Salida: Una aproximación de${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$Si n mod 2 ≠ 0 , entonces imprime (" Error: el número de intervalos debe ser par. "). devolver fin si h ← (b - a) / n suma ← f(a) + f(b) para i ← 1 a n - 1 hacer x ← a + ( i × h ) si i es impar entonces suma ← suma + (4 × f(x) ) sino suma ← suma + (2 × f(x) ) fin si fin para devolver ( h / 3) × suma

Entrada: Función de valor real, f Límite inferior de integración, a Límite superior de integración, b Número de intervalos, n Salida: Una aproximación de${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$si n mod 3 ≠ 0 print(" Error: el número de intervalos debe ser un múltiplo de 3. ") devolver fin si h ← (b - a) / n suma ← f(a) + f(b) para i ← 1 a n - 1 hacer x ← a + ( i × h ) si i mod 3 = 0 entonces suma ← suma + (2 × f(x) ) sino suma ← suma + (3 × f(x) ) fin si fin para devolver (3 h / 8) × suma

Entrada: Puntos de muestreo para los valores de la función, x Valores de la función en los puntos de muestreo, f Salida: Una aproximación de${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$N = longitud (x) - 1 # Utilice la regla trapezoidal si solo hay un intervalo, es decir, solo dos puntos. si N == 1 entonces devolver 0.5 * ( x₁ - x₀ ) * ( f₁ + f₀ ) fin si para i ← 0 a N-1 hacer hᵢ = xᵢ₊₁ - xᵢ fin si resultado = 0.0 para i ← 1 a N-1 (tamaño de paso 2) hacer h₀ , h₁ ← hᵢ₋₁ , hᵢ hph , hdh , hmh ← h₁ + h₀ , h₁ / h₀ , h₁ * h₀ resultado ← resultado + ( hph / 6) * ((2 - hdh ) * fᵢ₋₁ + ( hph **2 / hmh ) * fᵢ + (2 - 1 / hdh ) * fᵢ₊₁ ) fin si si N mod 2 = 1 entonces h₀ , h₁ ← hₙ₋₂ , hₙ₋₁ resultado ← resultado + fₙ * (2 * h₁ ** 2 + 3 * h₀ * h₁ ) / (6 * ( h₀ + h₁ )) resultado ← resultado + fₙ₋₁ * ( h₁ ** 2 + 3 * h₁ * h₀ ) / (6 * h₀ ) resultado ← resultado - fₙ₋₂ * h₁ ** 3 / (6 * h₀ * ( h₀ + h₁ )) fin si devolver resultado

Una propiedad importante de la regla de Simpson, que comparten todas las fórmulas de Newton-Cotes , es su estabilidad con respecto al error de redondeo. Para ilustrarlo, supongamos que aplicamos la regla de Simpson compuesta con${\displaystyle n}$subintervalos de alguna función${\displaystyle f(x)}$en un intervalo [a, b] . Sea${\displaystyle e_{i}}$denota el error de redondeo cuando${\displaystyle f(x_{i})}$se calcula y${\displaystyle E(h)}$denota el error total acumulado en la regla de Simpson compuesta, donde${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$.

Por definición, $${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&=\left|{\frac {h}{3}}\left[e_{0}+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}e_{2j}+4\sum _{j=1}^{n/2}e_{2j-1}+e_{n}\right]\right|\\&\leq {\frac {h}{3}}\left[\left|e_{0}\right|+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}\left|e_{2j}\right|+4\sum _{j=1}^{n/2}\left|e_{2j-1}\right|+\left|e_{n}\right|\right].\end{aligned}}}$$

Suponiendo que los errores de redondeo están limitados por algún número${\displaystyle \varepsilon >0}$, obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&\leq {\frac {h}{3}}\left[\varepsilon +2\left({\frac {n}{2}}-1\right)\varepsilon +4\left({\frac {n}{2}}\right)\varepsilon +\varepsilon \right]\\&={\frac {h}{3}}3n\varepsilon \\[1ex]&=nh\varepsilon \\[1ex]&=n\left({\frac {b-a}{n}}\right)\varepsilon \\&=(b-a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$$

que es un límite independiente de${\displaystyle h}$, por lo que el procedimiento es estable como${\displaystyle h}$se aproxima a cero. Esto contrasta con las técnicas de diferenciación numérica , que están mal condicionadas.

• Fórmulas de Newton-Cotes
• cuadratura gaussiana

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