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Modelo de ecuaciones simultáneas

Los modelos de ecuaciones simultáneas son un tipo de modelo estadístico en el que las variables dependientes son funciones de otras variables dependientes, en lugar de solo de v...

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Los modelos de ecuaciones simultáneas son un tipo de modelo estadístico en el que las variables dependientes son funciones de otras variables dependientes, en lugar de solo de variables independientes. [ 1 ] Esto significa que algunas de las variables explicativas se determinan conjuntamente con la variable dependiente, que en economía suele ser consecuencia de algún mecanismo de equilibrio subyacente . Tomemos como ejemplo el modelo típico de oferta y demanda : si bien normalmente se determina que la cantidad ofrecida y demandada es una función del precio fijado por el mercado, también es posible que ocurra lo contrario, donde los productores observan la cantidad que demandan los consumidores y luego fijan el precio. [ 2 ]

La simultaneidad plantea desafíos para la estimación de los parámetros estadísticos de interés, ya que se incumple el supuesto de Gauss-Markov de exogeneidad estricta de los regresores. Y si bien sería natural estimar todas las ecuaciones simultáneas a la vez, esto suele conducir a un problema de optimización no lineal computacionalmente costoso, incluso para el sistema de ecuaciones lineales más simple . [ 3 ] Esta situación impulsó el desarrollo, liderado por la Comisión Cowles en las décadas de 1940 y 1950, [ 4 ] de diversas técnicas que estiman cada ecuación del modelo de forma secuencial, en particular la máxima verosimilitud de información limitada y los mínimos cuadrados en dos etapas . [ 5 ]

Forma estructural y reducida

Supongamos que hay m ecuaciones de regresión de la forma

yit=y−i,t′γi+incógnitait′βi+túit,i=1,…,metro,{\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,}

donde i es el número de ecuación y t = 1, ..., T es el índice de observación. En estas ecuaciones, x es el vector k i × 1 de variables exógenas, y es la variable dependiente, y −i,t es el vector n i × 1 de todas las demás variables endógenas que entran en la i -ésima ecuación por la derecha, y u son los términos de error. La notación “− i ” indica que el vector y −i,t puede contener cualquiera de las y excepto y ( ya que está presente en el lado izquierdo). Los coeficientes de regresión β i y γ i tienen dimensiones k i × 1 y n i × 1 respectivamente. Apilando verticalmente las T observaciones correspondientes a la i -ésima ecuación, podemos escribir cada ecuación en forma vectorial como

yi=Y−iγi+incógnitaiβi+túi,i=1,…,metro,{\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,}

donde y i y u i son vectores T× 1, X i es una matriz T×k i de regresores exógenos, y Y −i es una matriz T×n i de regresores endógenos en el lado derecho de la i- ésima ecuación. Finalmente, podemos mover todas las variables endógenas al lado izquierdo y escribir las m ecuaciones conjuntamente en forma vectorial como

YΓ=incógnitaB+U.{\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,}

Esta representación se conoce como la forma estructural . En esta ecuación, Y = [ y 1 y 2 ... y m ] es la matriz T×m de variables dependientes. Cada una de las matrices Y −i es, de hecho, una submatriz de n i columnas de esta Y. La matriz m×m Γ, que describe la relación entre las variables dependientes, tiene una estructura compleja. Tiene unos en la diagonal, y todos los demás elementos de cada columna i son componentes del vector −γ i o ceros, dependiendo de qué columnas de Y se incluyeron en la matriz Y −i . La matriz T×k X contiene todos los regresores exógenos de todas las ecuaciones, pero sin repeticiones (es decir, la matriz X debe ser de rango completo). Por lo tanto, cada X i es una submatriz de k i columnas de X. La matriz Β tiene un tamaño de k×m , y cada una de sus columnas consta de los componentes de los vectores β i y ceros, dependiendo de cuáles de los regresores de X se incluyeron o excluyeron de X i . Finalmente, U = [ u 1 u 2 ... u m ] es una matriz T×m de los términos de error.

Al postmultiplicar la ecuación estructural por Γ −1 , el sistema se puede escribir en la forma reducida como

Y=incógnitaBΓ−1+UΓ−1=incógnitaΠ+V.{\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,}

Este ya es un modelo lineal general simple , y puede estimarse, por ejemplo, mediante mínimos cuadrados ordinarios . Desafortunadamente, la tarea de descomponer la matriz estimadaΠ^{\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}}Descomponer los factores individuales B y Γ −1 es bastante complicado, y por lo tanto la forma reducida es más adecuada para la predicción pero no para la inferencia.

Supuestos

En primer lugar, el rango de la matriz X de regresores exógenos debe ser igual a k , tanto en muestras finitas como en el límite cuando T → ∞ (este último requisito significa que en el límite la expresión1Tincógnita′incógnita{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X}debería converger a una matriz k×k no degenerada ). También se supone que la matriz Γ es no degenerada.

En segundo lugar, se supone que los términos de error son serialmente independientes e idénticamente distribuidos . Es decir, si la t -ésima fila de la matriz U se denota por u ( t ) , entonces la secuencia de vectores { u ( t ) } debe ser i.i.d., con media cero y alguna matriz de covarianza Σ (que es desconocida). En particular, esto implica que E [ U ] = 0 y E[ U′U ] = TΣ .

Por último, para la identificación se requieren ciertas suposiciones.

Identificación

Las condiciones de identificación requieren que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución para los parámetros desconocidos.

Más específicamente, la condición de orden , una condición necesaria para la identificación, es que para cada ecuación k i + n i ≤ k , lo que puede expresarse como “el número de variables exógenas excluidas es mayor o igual que el número de variables endógenas incluidas”.

La condición de rango , una condición más fuerte que es necesaria y suficiente, es que el rango de Π i 0 sea igual a n i , donde Π i 0 es una matriz ( k − k i )× n i que se obtiene de Π tachando aquellas columnas que corresponden a las variables endógenas excluidas y aquellas filas que corresponden a las variables exógenas incluidas.

Utilizar restricciones entre ecuaciones para lograr la identificación

En los modelos de ecuaciones simultáneas, el método más común para lograr la identificación es mediante la imposición de restricciones de parámetros dentro de cada ecuación. [ 6 ] Sin embargo, la identificación también es posible utilizando restricciones entre ecuaciones.

Para ilustrar cómo se pueden utilizar las restricciones de ecuaciones cruzadas para la identificación, considere el siguiente ejemplo de Wooldridge [ 6 ].

y1=γ12y2+δ11z1+δ12z2+δ13z3+tú1y2=γ21y1+δ21z1+δ22z2+tú2{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}}

donde las z no están correlacionadas con las u y las y son variables endógenas . Sin restricciones adicionales, la primera ecuación no está identificada porque no hay ninguna variable exógena excluida. La segunda ecuación solo está identificada si δ 13 ≠0 , lo cual se asume que es cierto para el resto de la discusión.

Ahora imponemos la restricción de ecuación cruzada δ 12 = δ 22. Dado que la segunda ecuación está identificada, podemos tratar δ 12 como conocido para fines de identificación. Entonces, la primera ecuación se convierte en:

y1−δ12z2=γ12y2+δ11z1+δ13z3+tú1{\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}}

Entonces, podemos usar ( z₁ , z₂ , z₃ ) como variables instrumentales para estimar los coeficientes en la ecuación anterior , ya que hay una variable endógena ( y₂ ) y una variable exógena excluida ( z₂ ) en el lado derecho. Por lo tanto, las restricciones entre ecuaciones , en lugar de las restricciones dentro de la ecuación, pueden lograr la identificación .

Estimación

Mínimos cuadrados en dos etapas (2SLS)

El método de estimación más simple y común para el modelo de ecuaciones simultáneas es el llamado método de mínimos cuadrados en dos etapas , [ 7 ] desarrollado independientemente por Theil (1953) y Basmann (1957) . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] Es una técnica ecuación por ecuación, donde los regresores endógenos en el lado derecho de cada ecuación se instrumentan con los regresores X de todas las demás ecuaciones. El método se llama “en dos etapas” porque realiza la estimación en dos pasos: [ 7 ]

Paso 1 : Realizar una regresión de Y −i sobre X y obtener los valores predichos.Y^−i{\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}};
Paso 2 : Estimar γ i , β i mediante la regresión de mínimos cuadrados ordinarios de y i enY^−i{\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}y X i .

Si la i -ésima ecuación del modelo se escribe como

yi=(Y−iincógnitai)(γiβi)+túi≡Ziδi+túi,{\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},}

donde Z i es una matriz T× ( n i + k i ) de regresores endógenos y exógenos en la i -ésima ecuación, y δ i es un vector ( n i + k i )-dimensional de coeficientes de regresión, entonces el estimador 2SLS de δ i estará dado por [ 7 ]

δ^i=(Z^i′Z^i)−1Z^i′yi=(Zi′PAGZi)−1Zi′PAGyi,{\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},}

donde P = X ( X ′ X ) −1 X ′ es la matriz de proyección sobre el espacio lineal generado por los regresores exógenos X .

mínimos cuadrados indirectos

El método de mínimos cuadrados indirectos es una técnica econométrica que estima los coeficientes de un modelo de ecuaciones simultáneas a partir de su forma reducida mediante mínimos cuadrados ordinarios . [ 11 ] [ 12 ] Para ello, primero se transforma el sistema estructural de ecuaciones a su forma reducida. Una vez estimados los coeficientes, el modelo se vuelve a convertir a su forma estructural.

Máxima verosimilitud con información limitada (LIML)

El método de máxima verosimilitud de “información limitada” fue sugerido por MA Girshick en 1947, [ 13 ] y formalizado por TW Anderson y H. Rubin en 1949. [ 14 ] Se utiliza cuando se está interesado en estimar una sola ecuación estructural a la vez (de ahí su nombre de información limitada), por ejemplo, para la observación i:

yi=Y−iγi+incógnitaiβi+túi≡Ziδi+túi{\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}}

Las ecuaciones estructurales para las variables endógenas restantes Y −i no se especifican y se dan en su forma reducida:

Y−i=incógnitaΠ+U−i{\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}}

La notación en este contexto es diferente a la del caso IV simple . Se tiene:

  • Y−i{\displaystyle Y_{-i}}: La(s) variable(s) endógena(s).
  • incógnita−i{\displaystyle X_{-i}}: La(s) variable(s) exógena(s)
  • incógnita{\displaystyle X}: El/los instrumento(s) (a menudo denotado(s)Z{\displaystyle Z})

La fórmula explícita para LIML es: [ 15 ]

δ^i=(Zi′(I−λMETRO)Zi)−1Zi′(I−λMETRO)yi,{\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},}

donde M = I − X ( X ′ X ) −1 X ′ , y λ es la raíz característica más pequeña de la matriz:

([yiY−i]METROi[yiY−i])([yiY−i]METRO[yiY−i])−1{\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}}

donde, de manera similar, M i = I − X i ( X i ′ X i ) −1 X i ′ .

En otras palabras, λ es la solución más pequeña del problema generalizado de valores propios , véase Theil (1971 , p. 503) :

|[yiY−i]′METROi[yiY−i]−λ[yiY−i]′METRO[yiY−i]|=0{\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}

Estimadores de clase K

El LIML es un caso especial de los estimadores de clase K: [ 16 ]

δ^=(Z′(I−κMETRO)Z)−1Z′(I−κMETRO)y,{\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,}

con:

  • δ=[βiγi]{\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}}
  • Z=[incógnitaiY−i]{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}}

Varios estimadores pertenecen a esta clase:

  • κ=0: MCO
  • κ=1: 2SLS. Nótese que en este caso,I−κMETRO=I−METRO=PAG{\displaystyle I-\kappa M=I-M=P}La matriz de proyección habitual del 2SLS
  • κ=λ: LIML
  • κ=λ - α / (nK): Estimador de Fuller (1977) . [ 17 ] Aquí K representa el número de instrumentos, n el tamaño de la muestra y α una constante positiva que se especifica. Un valor de α=1 dará como resultado un estimador aproximadamente insesgado. [ 16 ]

Mínimos cuadrados en tres etapas (3SLS)

El estimador de mínimos cuadrados en tres etapas fue introducido por Zellner y Theil (1962) . [ 18 ] [ 19 ] Puede considerarse un caso especial del GMM multiecuación, donde el conjunto de variables instrumentales es común a todas las ecuaciones. [ 20 ] Si todos los regresores están predeterminados, entonces el 3SLS se reduce a regresiones aparentemente no relacionadas (SUR). Por lo tanto, también puede considerarse una combinación de mínimos cuadrados en dos etapas (2SLS) con SUR.

Aplicaciones en ciencias sociales

En diversos campos y disciplinas, los modelos de ecuaciones simultáneas se aplican a varios fenómenos observacionales. Estas ecuaciones se aplican cuando se supone que los fenómenos son recíprocamente causales. El ejemplo clásico es la oferta y la demanda en economía . En otras disciplinas hay ejemplos como las evaluaciones de candidatos y la identificación de partidos [ 21 ] o la opinión pública y la política social en ciencias políticas ; [ 22 ] [ 23 ] la inversión en carreteras y la demanda de viajes en geografía; [ 24 ] y el nivel educativo y la entrada en la paternidad en sociología o demografía . [ 25 ] El modelo de ecuaciones simultáneas requiere una teoría de causalidad recíproca que incluya características especiales si los efectos causales se van a estimar como retroalimentación simultánea en lugar de "bloques" unilaterales de una ecuación donde un investigador está interesado en el efecto causal de X sobre Y mientras mantiene constante el efecto causal de Y sobre X, o cuando el investigador conoce la cantidad exacta de tiempo que tarda en producirse cada efecto causal, es decir, la duración de los desfases causales. En lugar de efectos retardados, la retroalimentación simultánea implica estimar el impacto simultáneo y perpetuo de X e Y entre sí. Esto requiere una teoría que asigne efectos causales simultáneos en el tiempo, o tan complejos que parezcan comportarse simultáneamente; un ejemplo común son los estados de ánimo de los compañeros de piso. [ 26 ] Para estimar modelos de retroalimentación simultánea, también es necesaria una teoría del equilibrio: que X e Y se encuentren en estados relativamente estables o formen parte de un sistema (sociedad, mercado, aula) que se encuentre en un estado relativamente estable. [ 27 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Martin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Econometric Modelling with Time Series . Cambridge University Press. p.  159. ISBN 978-0-521-19660-4.
  2. ^ Maddala, GS; Lahiri, Kajal (2009). Introducción a la econometría (Cuarta ed.). Wiley. págs. 355-357 . ISBN   978-0-470-01512-4.
  3. ↑ Quandt, Richard E. (1983). «Problemas y métodos computacionales». En Griliches, Z.; Intriligator, MD (eds.). Manual de econometría . Vol. I. North-Holland. pp. 699–764 . ISBN   0-444-86185-8.
  4. ↑ Christ, Carl F. (1994). "Las contribuciones de la Comisión Cowles a la econometría en Chicago, 1939–1955". Journal of Economic Literature . 32 (1): 30– 59. JSTOR 2728422 . 
  5. ↑ Johnston, J. (1971). «Métodos de ecuaciones simultáneas: Estimación». Métodos econométricos (Segunda edición). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 376–423 . ISBN   0-07-032679-7.
  6. 1 2 Wooldridge, JM, Análisis econométrico de datos de sección transversal y de panel, MIT Press, Cambridge, Mass.
  7. 1 2 3 Greene, William H. (2002). Análisis econométrico (5.ª ed.). Prentice Hall. págs. 398–399 . ISBN   0-13-066189-9.
  8. ↑ Theil, H. (1953). Estimación y correlación simultánea en sistemas de ecuaciones completas (Memorándum). Oficina Central de Planificación.Reimpreso en Henri Theil's Contributions to Economics and Econometrics (Springer, 1992), doi : 10.1007/978-94-011-2546-8_6 .
  9. ↑ Basmann, RL (1957). "Un método clásico generalizado de estimación lineal de coeficientes en una ecuación estructural". Econometrica . 25 (1): 77– 83. doi : 10.2307/1907743 . JSTOR 1907743 . 
  10. ↑ Theil, Henri (1971). Principios de econometría . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-85845-4.
  11. ↑ Park, SB. (1974) "Sobre la estimación indirecta por mínimos cuadrados de un sistema de ecuaciones simultáneas", The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR 3314964 
  12. ↑ Vajda, S.; Valko, P.; Godfrey, KR (1987). "Métodos de mínimos cuadrados directos e indirectos en la estimación de parámetros en tiempo continuo". Automatica . 23 (6): 707– 718. doi : 10.1016/0005-1098(87)90027-6 .
  13. ↑ Primera aplicación por Girshick, MA; Haavelmo, Trygve (1947). "Análisis estadístico de la demanda de alimentos: ejemplos de estimación simultánea de ecuaciones estructurales". Econometrica . 15 (2): 79– 110. doi : 10.2307/1907066 . JSTOR 1907066 . 
  14. ↑ Anderson, TW; Rubin, H. (1949). "Estimador de los parámetros de una sola ecuación en un sistema completo de ecuaciones estocásticas" . Annals of Mathematical Statistics . 20 (1): 46– 63. doi : 10.1214/aoms/1177730090 . JSTOR 2236803 . 
  15. ↑ Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada . Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pág . 235. ISBN  0-674-00560-0.
  16. 1 2 Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). Estimación e inferencia en econometría . Oxford University Press. pág. 649. ISBN  0-19-506011-3.
  17. ↑ Fuller, Wayne (1977). "Algunas propiedades de una modificación del estimador de información limitada". Econometrica . 45 (4): 939– 953. doi : 10.2307/1912683 . JSTOR 1912683 . 
  18. ↑ Zellner, Arnold ; Theil, Henri (1962). "Mínimos cuadrados en tres etapas: estimación simultánea de ecuaciones simultáneas". Econometrica . 30 (1): 54–78 . doi : 10.2307/1911287 . JSTOR 1911287 . 
  19. ↑ Kmenta, Jan (1986). «Métodos de estimación de sistemas» . Elementos de econometría (segunda edición). Nueva York: Macmillan. págs. 695–701 . ISBN   9780023650703.
  20. ↑ Hayashi, Fumio (2000). "GMM de ecuaciones múltiples" . Econometría . Princeton University Press. págs. 276–279 . ISBN  1400823838.
  21. ↑ Page, Benjamin I.; Jones, Calvin C. (1979-12-01). "Efectos recíprocos de las preferencias políticas, la lealtad partidista y el voto". American Political Science Review . 73 (4): 1071– 1089. doi : 10.2307/1953990 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1953990 . S2CID 144984371 .   
  22. ↑ Wlezien, Christopher (1995-01-01). "El público como termostato: dinámica de las preferencias de gasto". American Journal of Political Science . 39 (4): 981– 1000. doi : 10.2307/2111666 . JSTOR 2111666 . 
  23. ↑ Breznau, Nate (1 de julio de 2016). "Retornos positivos y equilibrio: retroalimentación simultánea entre la opinión pública y la política social" . Policy Studies Journal . 45 (4): 583– 612. doi : 10.1111/psj.12171 . ISSN 1541-0072 . 
  24. ↑ Xie, F.; Levinson, D. (1 de mayo de 2010). "Cómo los tranvías moldearon la suburbanización: un análisis de causalidad de Granger del uso del suelo y el transporte en las Ciudades Gemelas". Journal of Economic Geography . 10 (3): 453– 470. doi : 10.1093/jeg/lbp031 . hdl : 11299/179996 . ISSN 1468-2702 . 
  25. ↑ Marini, Margaret Mooney (1984-01-01). "El nivel educativo de las mujeres y el momento de su ingreso a la maternidad". American Sociological Review . 49 (4): 491– 511. doi : 10.2307/2095464 . JSTOR 2095464 . 
  26. ↑ Wong, Chi-Sum; Law, Kenneth S. (1999-01-01). "Prueba de relaciones recíprocas mediante modelos de ecuaciones estructurales no recursivos utilizando datos transversales". Métodos de investigación organizacional . 2 (1): 69– 87. doi : 10.1177/109442819921005 . ISSN 1094-4281 . S2CID 122284566 .  
  27. ↑ 2013. “Dinámica de flechas inversas: bucles de retroalimentación y medición formativa”. En Modelado de ecuaciones estructurales: un segundo curso , editado por Gregory R. Hancock y Ralph O. Mueller, 2.ª ed., 41–79. Charlotte, NC: Information Age Publishing

Lecturas adicionales

  • Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). Econometría aplicada (Segunda  edición). Basingstoke: Palgrave Macmillan. pág.  395. ISBN 978-0-230-27182-1.
  • Chow, Gregory C. (1983). Econometría . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 117–121 . ISBN  0-07-010847-1.
  • Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). «Modelos de ecuaciones simultáneas». Métodos econométricos avanzados . Nueva York: Springer. págs. 437–552 . ISBN  0-387-90908-7.
  • Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). «Modelos de ecuaciones simultáneas». Introducción a la econometría (Cuarta  ed.). Nueva York: Wiley. pp. 355–400 . ISBN  978-0-470-01512-4.
  • Ruud, Paul A. (2000). «Ecuaciones simultáneas». Una introducción a la teoría econométrica clásica . Oxford University Press. pp. 697–746 . ISBN  0-19-511164-8.
  • Sargan, Denis (1988). Lecciones de teoría econométrica avanzada . Oxford: Basil Blackwell. pp. 68–89 . ISBN  0-631-14956-2.
  • Wooldridge, Jeffrey M. (2013). «Modelos de ecuaciones simultáneas». Econometría introductoria (Quinta  ed.). South-Western. pp. 554–582 . ISBN  978-1-111-53104-1.
  • Conferencia sobre el problema de identificación en 2SLS y estimación en YouTube por Mark Thoma