Función multivaluada

En matemáticas , una función multivaluada , ^{[ 1 ]} función de valores múltiples , ^{[ 2 ]} función de muchos valores , ^{[ 3 ]} o multifunción , ^{[ 4 ]} es una función que tiene dos o más valores en su rango para al menos un punto en su dominio. ^{[ 5 ]} Es una función de conjunto con propiedades adicionales que dependen del contexto; aunque algunos autores no distinguen entre funciones de conjunto y multifunciones. ^{[ 6 ]}

Una función multivaluada de conjuntos f  : X → Y es un subconjunto

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

Escriba f(x) para el conjunto de aquellos y ∈ Y tales que ( x,y ) ∈ Γ _f . Si f es una función ordinaria, es una función multivaluada al tomar su gráfica.

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\$ :\ x\in X\}.}

Se las denomina funciones unívocas para distinguirlas.

El término función multivaluada se originó en el análisis complejo, a partir de la continuación analítica . A menudo ocurre que se conoce el valor de una función analítica compleja.${\displaystyle f(z)}$en algún vecindario de un punto${\displaystyle z=a}$Este es el caso de las funciones definidas por el teorema de la función implícita o por una serie de Taylor alrededor de .${\displaystyle z=a}$En tal situación, se puede extender el dominio de la función unívoca.${\displaystyle f(z)}$a lo largo de curvas en el plano complejo comenzando en${\displaystyle a}$Al hacerlo, se encuentra que el valor de la función extendida en un punto${\displaystyle z=b}$depende de la curva elegida de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$Dado que ninguno de los nuevos valores es más natural que los demás, todos ellos se incorporan a una función multivaluada.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$sea ​​la función de raíz cuadrada usual en números reales positivos. Se puede extender su dominio a un entorno de${\displaystyle z=1}$en el plano complejo, y luego más adelante a lo largo de curvas que comienzan en${\displaystyle z=1}$, de modo que los valores a lo largo de una curva dada varían continuamente desde${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$Al extender el dominio a números reales negativos, se obtienen dos valores opuestos para la raíz cuadrada —por ejemplo, ± i para −1— dependiendo de si el dominio se ha extendido a través de la mitad superior o inferior del plano complejo. Este fenómeno es muy frecuente y se presenta en raíces enésimas , logaritmos y funciones trigonométricas inversas .

Para definir una función unívoca a partir de una función compleja multivaluada, se puede distinguir uno de los múltiples valores como el valor principal , produciendo una función unívoca en todo el plano que es discontinua a lo largo de ciertas curvas límite. Alternativamente, tratar con la función multivaluada permite tener algo que es continuo en todas partes, a costa de posibles cambios de valor cuando se sigue una trayectoria cerrada ( monodromía ). Estos problemas se resuelven en la teoría de las superficies de Riemann : para considerar una función multivaluada${\displaystyle f(z)}$como una función ordinaria sin descartar ningún valor, se multiplica el dominio en un espacio de recubrimiento de muchas capas , una variedad que es la superficie de Riemann asociada a${\displaystyle f(z)}$.

Si f  : X → Y es una función ordinaria, entonces su inversa es la función multivaluada.

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subsetequ \ Y\times X}$

definida como Γ _f , vista como un subconjunto de X × Y. Cuando f es una función diferenciable entre variedades , el teorema de la función inversa da condiciones para que sea unívoca localmente en X.

Por ejemplo, el logaritmo complejo log(z) es el inverso multivaluado de la función exponencial e ^z  : C → C ^× , con gráfica

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\$ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.}

No es unívoco, dado un único w con w = log(z) , tenemos

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z}.}$

Dada cualquier función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo C , su continuación analítica es siempre una función multivaluada.

• Todo número real mayor que cero tiene dos raíces cuadradas reales , por lo que la raíz cuadrada puede considerarse una función multivaluada. Por ejemplo, podemos escribir:${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$; aunque cero tiene solo una raíz cuadrada,${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle {\sqrt {x}}}$generalmente denota solo la raíz cuadrada principal de${\displaystyle x}$.
• Cada número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas y, en general, n raíces enésimas . La única raíz enésima de 0 es 0.
• La función logaritmo complejo es multivaluada. Los valores asumidos por${\displaystyle \log(a+bi)}$para números reales${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$para todos los números enteros${\displaystyle n}$.
• Las funciones trigonométricas inversas son multivaluadas porque las funciones trigonométricas son periódicas. Tenemos$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(4n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$En consecuencia, arctan(1) se relaciona intuitivamente con varios valores: π /4, 5π / 4, −3π / 4, etc. Podemos tratar arctan como una función unívoca restringiendo su dominio a −π / 2 < x < π /2 , un dominio donde tan x es monótonamente creciente. Por lo tanto, el rango de arctan( x ) se convierte en −π / 2 < y < π /2 . Estos valores de un dominio restringido se denominan valores principales .
• La antiderivada puede considerarse una función multivaluada. La antiderivada de una función es el conjunto de funciones cuya derivada es esa función. La constante de integración se deduce del hecho de que la derivada de una función constante es cero.
• Las funciones hiperbólicas inversas en el dominio complejo son multivaluadas porque las funciones hiperbólicas son periódicas a lo largo del eje imaginario. En el dominio real, son unívocas, a excepción de arcosh y arsech.

Todos estos son ejemplos de funciones multivaluadas que surgen de funciones no inyectivas . Dado que las funciones originales no conservan toda la información de sus entradas, no son reversibles. A menudo, la restricción de una función multivaluada es una inversa parcial de la función original.

Las funciones multivaluadas de una variable compleja tienen puntos de ramificación . Por ejemplo, para la raíz enésima y el logaritmo, 0 es un punto de ramificación; para la función arcotangente, las unidades imaginarias i y −i son puntos de ramificación. Utilizando estos puntos de ramificación, estas funciones pueden redefinirse como funciones unívocas, restringiendo su rango. Se puede encontrar un intervalo adecuado mediante un corte de rama , una curva que conecta pares de puntos de ramificación, reduciendo así la superficie de Riemann multicapa de la función a una sola capa. Al igual que con las funciones reales, el rango restringido se denomina rama principal de la función.

En física, las funciones multivaluadas desempeñan un papel cada vez más importante. Constituyen la base matemática de los monopolos magnéticos de Dirac , de la teoría de los defectos en los cristales y la plasticidad resultante de los materiales, de los vórtices en superfluídos y superconductores , y de las transiciones de fase en estos sistemas, como la fusión y el confinamiento de quarks . Son el origen de las estructuras de campo de gauge en muchas ramas de la física.

• Relación (matemáticas)
• Función (matemáticas)
• Relación binaria
• Función con valores de conjunto

• H. Kleinert , Campos multivaluados en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea )
• H. Kleinert , Campos de gauge en materia condensada , Vol. I: Superflujo y líneas de vórtice, 1–742, Vol. II: Tensiones y defectos, 743–1456, World Scientific, Singapur, 1989 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II )