Singleton (matemáticas)

En matemáticas , un conjunto unitario (también conocido como conjunto de un punto ^{[ 1 ]} o conjunto de un punto ) es un conjunto con exactamente un elemento . Por ejemplo, el conjunto${\displaystyle \{0\}}$es un singleton cuyo único elemento es${\displaystyle 0}$.

Dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento de sí mismo. Esto implica que un conjunto unitario es necesariamente distinto del elemento que contiene, ^{[ 1 ]} por lo tanto 1 y${\displaystyle \{1\}}$no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, pero no un singleton).

Un conjunto es un conjunto unitario si y solo si su cardinalidad es 1. En la construcción de los números naturales basada en la teoría de conjuntos de von Neumann , el número 1 se define como el conjunto unitario.${\displaystyle \{0\}.}$

En la teoría axiomática de conjuntos , la existencia de conjuntos unitarios es una consecuencia del axioma de emparejamiento : para cualquier conjunto A , el axioma aplicado a A y A afirma la existencia de${\displaystyle \{A,A\},}$que es lo mismo que el singleton${\displaystyle \{A\}}$(ya que contiene A , y ningún otro conjunto, como elemento).

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier conjunto unitario, entonces existe precisamente una función de A a S , la función que envía cada elemento de A al único elemento de S. Por lo tanto, cada conjunto unitario es un objeto terminal en la categoría de conjuntos .

Un conjunto unitario tiene la propiedad de que toda función que lo conecta a cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no unitario con esta propiedad es el conjunto vacío .

Cada conjunto singleton es un prefiltro ultra . Si${\displaystyle X}$es un conjunto y${\displaystyle x\in X}$luego el ascenso de${\displaystyle \{x\}}$en${\displaystyle X,}$que es el conjunto${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$es un ultrafiltro principal en${\displaystyle X}$Además, cada ultrafiltro principal en${\displaystyle X}$es necesariamente de esta forma. ^{[ 2 ]} El lema del ultrafiltro implica que existen ultrafiltros no principales en todo conjunto infinito (estos se denominan ultrafiltros libres ). Toda red valorada en un subconjunto unitario${\displaystyle X}$de es una ultrared en${\displaystyle X.}$

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto ( OEIS : A000110  ); si se excluyen los singletons, los números son más pequeños ( OEIS : A000296  ).

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de diversas categorías :

• La afirmación anterior demuestra que los conjuntos unitarios son precisamente los objetos terminales en la categoría Conjunto de conjuntos . Ningún otro conjunto es terminal.
• Todo conjunto unitario admite una estructura de espacio topológico única (ambos subconjuntos son abiertos). Estos espacios topológicos unitarios son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas . Ningún otro espacio es terminal en esa categoría.
• Todo conjunto unitario admite una estructura de grupo única (el único elemento actúa como elemento identidad ). Estos grupos unitarios son objetos cero en la categoría de grupos y homomorfismos de grupos . Ningún otro grupo es terminal en esa categoría.

Sea S una clase definida por una función indicadora.$${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$ Entonces S se llama un singleton si y solo si hay algún${\displaystyle y\in X}$de tal manera que para todos${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

La siguiente definición fue introducida en Principia Mathematica por Whitehead y Russell : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \iota }$'${\displaystyle x={\sombrero {y}}(y=x)}$Df.

El símbolo${\displaystyle \iota }$'${\displaystyle x}$denota el singleton${\displaystyle \{x\}}$y${\displaystyle {\sombrero {y}}(y=x)}$denota la clase de objetos idénticos a${\displaystyle x}$es decir${\displaystyle \{y:y=x\}}$. Esto aparece como una definición en la introducción, que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como la proposición 51.01 (pág.  357 ibíd.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$'${\displaystyle x)}$Df.

Es decir, 1 es la clase de singletons. Esta es la definición 52.01 (pág.  363 ibíd.).

• Clase (teoría de conjuntos) – Colección de conjuntos en matemáticas que se puede definir en función de una propiedad de sus miembros. 
• Punto aislado : Punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S. 
• Cuantificación de la singularidad – Cuantificador lógico 
• Urelement – ​​Concepto en teoría de conjuntos