Hipótesis de los cardenales singulares

En la teoría de conjuntos , la hipótesis de los cardinales singulares (SCH) surgió de la pregunta de si el número cardinal más pequeño para el cual la hipótesis del continuo generalizado (GCH) podría fallar podría ser un cardinal singular .

Según Mitchell (1992), la hipótesis de los cardenales singulares es:

Si κ es cualquier cardinal de límite fuerte singular , entonces 2 ^κ = κ ⁺ .

Aquí, κ ⁺ denota el cardinal sucesor de κ .

Dado que SCH es una consecuencia de GCH, que se sabe que es consistente con ZFC , SCH es consistente con ZFC. También se ha demostrado que la negación de SCH es consistente con ZFC, si se supone la existencia de un número cardinal suficientemente grande. De hecho, por los resultados de Moti Gitik , ZFC + ¬SCH es equiconsistente con ZFC + la existencia de un cardinal medible κ de orden Mitchell κ ⁺⁺ .

Otra forma del SCH es la siguiente declaración:

2 ^{cf( κ )} < κ implica κ ^{cf( κ )} = κ ⁺ ,

donde cf denota la función de cofinalidad . Nótese que κ ^{cf( κ )} = 2 ^κ para todos los cardinales singulares de límite fuerte κ . La segunda formulación de SCH es estrictamente más fuerte que la primera versión, ya que la primera solo menciona límites fuertes. A partir de un modelo en el que la primera versión de SCH falla en ℵ _ω y GCH se cumple por encima de ℵ _ω+2 , podemos construir un modelo en el que la primera versión de SCH se cumple pero la segunda versión de SCH falla, añadiendo ℵ _ω subconjuntos de Cohen a ℵ _n para algún n .

Jack Silver demostró que si κ es singular con cofinalidad incontable y 2 ^λ = λ ⁺ para todos los cardinales infinitos λ < κ , entonces 2 ^κ = κ ⁺ . La prueba original de Silver utilizó ultrapotencias genéricas. El siguiente hecho importante se desprende del teorema de Silver: si la hipótesis de los cardinales singulares se cumple para todos los cardinales singulares de cofinalidad contable, entonces se cumple para todos los cardinales singulares. En particular, entonces, si es el menor contraejemplo a la hipótesis de los cardinales singulares, entonces . ${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\mathrm {\omega } }$

La negación de la hipótesis de los cardinales singulares está íntimamente relacionada con la violación del GCH en un cardinal medible. Un resultado bien conocido de Dana Scott es que si el GCH se cumple por debajo de un cardinal medible en un conjunto de medida uno, es decir, hay un ultrafiltro normal -completo D en tal que , entonces . Partiendo de un cardinal supercompacto , Silver pudo producir un modelo de teoría de conjuntos en el que es medible y en el que . Luego, al aplicar el forzamiento de Prikry al medible , se obtiene un modelo de teoría de conjuntos en el que es un cardinal límite fuerte de cofinalidad contable y en el que —una violación del SCH. Gitik , basándose en el trabajo de Woodin , pudo reemplazar el supercompacto en la prueba de Silver con medible de orden Mitchell . Eso estableció un límite superior para la fuerza de consistencia de la falla del SCH. Gitik nuevamente, utilizando los resultados de la teoría del modelo interno , pudo demostrar que un cardinal medible de orden Mitchell es también el límite inferior para la resistencia de consistencia de la falla del SCH. ${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa)}$${\displaystyle \{\alpha <\kappa \mid 2^{\alpha }=\alpha ^{+}\}\en D}$${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$${\displaystyle \kappa ^{++}}$${\displaystyle \kappa ^{++}}$

Una amplia variedad de proposiciones implican SCH. Como se señaló anteriormente, GCH implica SCH. Por otro lado, el axioma de forzamiento propio , que implica y, por lo tanto, es incompatible con GCH, también implica SCH. Solovay demostró que los cardinales grandes casi implican SCH; en particular, si es un cardinal fuertemente compacto , entonces el SCH se cumple por encima de . Por otro lado, la inexistencia de (modelos internos para) varios cardinales grandes (por debajo de un cardinal medible de orden Mitchell ) también implica SCH. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\estilo de visualización \kappa}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle \kappa ^{++}}$

• Thomas Jech : Propiedades de la función gimel y una clasificación de cardinales singulares, Fundamenta Mathematicae 81 (1974): 57–64.
• William J. Mitchell, "Sobre la hipótesis cardinal singular", Trans. Amer. Math. Soc. , volumen 329 (2): págs. 507–530, 1992.
• Jason Aubrey, El problema de los cardenales singulares (PDF), informe expositivo VIGRE, Departamento de Matemáticas, Universidad de Michigan .