Medida singular

En matemáticas , dos medidas positivas (o con signo o complejas )${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$definido en un espacio medible${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$Se denominan singulares si existen dos conjuntos medibles disjuntos.${\displaystyle A,B\in \Sigma }$cuya unión es${\displaystyle \Omega }$de tal manera que${\displaystyle \mu }$es cero en todos los subconjuntos medibles de${\displaystyle B}$mientras${\displaystyle \nu }$es cero en todos los subconjuntos medibles de${\displaystyle A.}$Esto se denota por${\displaystyle \mu \perp \nu.}$

Una forma refinada del teorema de descomposición de Lebesgue descompone una medida singular en una medida continua singular y una medida discreta .

Como caso particular, una medida definida en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se denomina singular si es singular con respecto a la medida de Lebesgue en este espacio. Por ejemplo, la función delta de Dirac es una medida singular.

Ejemplo. Una medida discreta .

La función escalón de Heaviside en la recta real , $${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ tiene la distribución delta de Dirac${\displaystyle \delta _{0}}$como su derivada distributiva . Esta es una medida en la línea real, una " masa puntual " en${\displaystyle 0.}$Sin embargo, la medida de Dirac${\displaystyle \delta _{0}}$no es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue${\displaystyle \lambda ,}$ni es${\displaystyle \lambda }$absolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \delta _{0}:}$${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$pero${\displaystyle \delta _ {0}(\{0\})=1;}$si${\displaystyle U}$es cualquier conjunto abierto no vacío que no contiene 0, entonces${\displaystyle \lambda (U)>0}$pero${\displaystyle \delta _ {0}(U)=0.}$

Ejemplo. Una medida continua singular.

La distribución de Cantor tiene una función de distribución acumulativa que es continua pero no absolutamente continua , y de hecho su parte absolutamente continua es cero: es singularmente continua.

Ejemplo. Una medida continua singular en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Los límites superior e inferior de Fréchet-Hoeffding son distribuciones singulares en dos dimensiones.

• Continuidad absoluta (teoría de la medida) – Forma de continuidad para funciones Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Teorema de descomposición de Lebesgue : Teorema en teoría matemática de la medida. 
• Distribución singular : distribución concentrada en un conjunto de medida cero. 

• Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• J. Taylor, Introducción a la medida y la probabilidad , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

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