Punto singular de una variedad algebraica

En el campo matemático de la geometría algebraica , un punto singular de una variedad algebraica V es un punto P que es «especial» (es decir, singular), en el sentido geométrico de que en este punto el espacio tangente de la variedad puede no estar definido regularmente. En el caso de variedades definidas sobre los números reales , esta noción generaliza la noción de no planitud local . Un punto de una variedad algebraica que no es singular se denomina regular . Una variedad algebraica que no tiene ningún punto singular se denomina no singular o suave . El concepto se generaliza a esquemas suaves en el lenguaje moderno de la teoría de esquemas .

Una curva plana definida por una ecuación implícita.

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

donde F es una función suave , se dice que es singular en un punto si la serie de Taylor de F tiene orden al menos 2 en ese punto.

La razón de esto es que, en cálculo diferencial _, la tangente en el punto ( x0 _, y0 ) de dicha curva se define mediante la ecuación

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

cuyo lado izquierdo es el término de grado uno del desarrollo de Taylor. Por lo tanto, si este término es cero, la tangente no puede definirse de la forma estándar, ya sea porque no existe o porque se debe proporcionar una definición especial.

En general, para una hipersuperficie

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots )=0}$

Los puntos singulares son aquellos en los que todas las derivadas parciales se anulan simultáneamente. Una variedad algebraica general V se define como los ceros comunes de varios polinomios , y la condición para que un punto P de V sea un punto singular es que la matriz jacobiana de las derivadas parciales de primer orden de los polinomios tenga un rango en P menor que el rango en otros puntos de la variedad.

Los puntos de V que no son singulares se denominan no singulares o regulares . Casi todos los puntos son no singulares, en el sentido de que forman un conjunto abierto y denso en la variedad (tanto para la topología de Zariski como para la topología usual, en el caso de variedades definidas sobre los números complejos ). ^{[ 1 ]}

En el caso de una variedad real (es decir, el conjunto de puntos con coordenadas reales de una variedad definida por polinomios con coeficientes reales), la variedad es una variedad manifold cerca de cada ^punto regular. Pero una variedad real puede ser una variedad y tener puntos singulares. Por ejemplo, la ecuación ^y³ + 2x² y − x⁴ = ⁰ define una variedad analítica real pero tiene un punto singular en el origen. ^{[ 2 ]} Esto puede explicarse diciendo que la curva tiene dos ramas complejas conjugadas que cortan la rama real en el origen.

Como la noción de puntos singulares es una propiedad puramente local, la definición anterior puede extenderse para cubrir la clase más amplia de aplicaciones suaves (funciones de M a R ⁿ donde existen todas las derivadas). El análisis de estos puntos singulares puede reducirse al caso de la variedad algebraica considerando los jets de la aplicación. El k -ésimo jet es la serie de Taylor de la aplicación truncada en grado k y eliminando el término constante .

En la geometría algebraica clásica , ciertos puntos singulares especiales también se denominaban nodos . Un nodo es un punto singular cuya matriz hessiana no es singular; esto implica que el punto singular tiene multiplicidad dos y que el cono tangente no es singular fuera de su vértice.

• Mapa de Milnor
• Resolución de singularidades
• teoría de la singularidad
• espacio tangente de Zariski