onda plana sinusoidal

En física , una onda plana sinusoidal es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía como una función sinusoidal del tiempo y de la distancia a un plano fijo. También se la denomina onda plana monocromática , con frecuencia constante (como en la radiación monocromática ).

Para cualquier puesto${\displaystyle {\vec {x}}}$en el espacio y en cualquier momento${\displaystyle t}$, el valor de dicho campo se puede escribir como $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi \right)}$$ dónde${\displaystyle {\hat {n}}}$es un vector de longitud unitaria , la dirección de propagación de la onda, y "${\displaystyle \cdot }$" denota el producto escalar de dos vectores. El parámetro${\displaystyle A}$, que puede ser un escalar o un vector, se denomina amplitud de la onda; el coeficiente${\displaystyle \nu }$, un escalar positivo, su frecuencia espacial ; y el escalar adimensional${\displaystyle \varphi }$, un ángulo en radianes, es su fase inicial o desplazamiento de fase .

La cantidad escalar${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\hat {n}}}$da el desplazamiento (con signo) del punto${\displaystyle {\vec {x}}}$del plano que es perpendicular a${\displaystyle {\hat {n}}}$y pasa por el origen del sistema de coordenadas. Esta cantidad es constante en cada plano perpendicular a${\displaystyle {\hat {n}}}$.

En ese momento${\displaystyle t=0}$, el campo${\displaystyle F}$varía con el desplazamiento${\displaystyle d}$como una función sinusoidal $${\displaystyle F({\vec {x}},0)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})+\varphi \right)}$$ La frecuencia espacial${\displaystyle \nu }$es el número de ciclos completos por unidad de longitud a lo largo de la dirección${\displaystyle {\hat {n}}}$. Para cualquier otro valor de${\displaystyle t}$, los valores del campo se desplazan por la distancia${\displaystyle ct}$en la dirección${\displaystyle {\hat {n}}}$. Es decir, todo el campo parece desplazarse en esa dirección con velocidad${\displaystyle c}$.

Para cada desplazamiento${\displaystyle d}$, el plano móvil perpendicular a${\displaystyle {\hat {n}}}$a distancia${\displaystyle d+ct}$Desde el origen se llama frente de onda . Este plano se encuentra a distancia${\displaystyle d}$desde el origen cuando${\displaystyle t=0}$y viaja en la dirección${\displaystyle {\hat {n}}}$también con velocidad${\displaystyle c}$; y el valor del campo es entonces el mismo, y constante en el tiempo, en cada uno de sus puntos.

Una onda plana sinusoidal podría ser un modelo adecuado para una onda sonora dentro de un volumen de aire pequeño en comparación con la distancia de la fuente (siempre que no haya ecos de objetos cercanos). En ese caso,${\displaystyle F({\vec {x}},t)\,}$sería un campo escalar, la desviación de la presión del aire en el punto${\displaystyle {\vec {x}}}$y tiempo${\displaystyle t}$, lejos de su nivel normal.

En cualquier punto fijo${\displaystyle {\vec {x}}}$, el campo también variará sinusoidalmente con el tiempo; será un múltiplo escalar de la amplitud.${\displaystyle A}$, entre${\displaystyle +A}$y${\displaystyle -A}$

Cuando la amplitud${\displaystyle A}$es un vector ortogonal a${\displaystyle {\hat {n}}}$Se dice que la onda es transversal . Dichas ondas pueden presentar polarización , si${\displaystyle A}$puede orientarse a lo largo de dos direcciones no colineales . Cuando${\displaystyle A}$es un vector colineal con${\displaystyle {\hat {n}}}$Se dice que la onda es longitudinal . Estas dos posibilidades se ejemplifican con las ondas S (de cizallamiento) y las ondas P (de presión) estudiadas en sismología .

La fórmula anterior proporciona una descripción puramente "cinemática" de la onda, sin referencia a ningún proceso físico que pueda estar causando su movimiento. En una onda mecánica o electromagnética que se propaga a través de un medio isotrópico , el vector${\displaystyle {\hat {n}}}$La dirección de propagación aparente de la onda es también la dirección en la que fluye realmente la energía o el momento. Sin embargo, en un medio anisotrópico , ambas direcciones pueden ser diferentes . (Véase también: Vector de onda#Dirección del vector de onda ).

La misma onda plana sinusoidal${\displaystyle F}$Lo anterior también se puede expresar en términos de seno en lugar de coseno utilizando la identidad elemental.${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi '\right)}$$ dónde${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$Por lo tanto, el valor y el significado del desfase dependen de si la onda se define en términos de seno o coseno.

Sumar cualquier múltiplo entero de${\displaystyle 2\pi }$a la fase inicial${\displaystyle \varphi }$no tiene efecto en el campo. Agregar un múltiplo impar de${\displaystyle \pi }$tiene el mismo efecto que negar la amplitud${\displaystyle A}$Asignar un valor negativo a la frecuencia espacial${\displaystyle \nu }$tiene el efecto de invertir la dirección de propagación, con un ajuste adecuado de la fase inicial.

La fórmula de una onda plana sinusoidal se puede escribir de varias otras maneras:

Una onda sinusoidal plana también puede expresarse en términos de la función exponencial compleja.$${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\exp(\mathrm {i} z)=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$$ dónde${\displaystyle e}$es la base de la función exponencial natural y ${\displaystyle \mathrm {i} }$es la unidad imaginaria , definida por la ecuación${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$Con esas herramientas, se define la onda plana exponencial compleja como $${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$$ dónde${\displaystyle A,\nu ,{\hat {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$son como se definen para la onda plana sinusoidal (real). Esta ecuación da un campo${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$cuyo valor es un número complejo o un vector con coordenadas complejas. La expresión de onda original ahora es simplemente la parte real, $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=\operatorname {Re} {\left[U({\vec {x}},t)\right]}}$$

Para comprender la relación de esta ecuación con las anteriores, a continuación se muestra la misma ecuación expresada mediante senos y cosenos. Observe que el primer término es igual a la forma real de la onda plana que acabamos de analizar.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccc}U({\vec {x}},t)&=&A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\\[1ex]U({\vec {x}},t)&=&F({\vec {x}},t)&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\end{array}}}$$

La forma compleja introducida de la onda plana se puede simplificar utilizando una amplitud de valor complejo.${\displaystyle C\,}$sustituir la amplitud de valor real${\displaystyle A\,}$. Específicamente, dado que la forma compleja $${\displaystyle \exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$$ uno puede absorber el factor de fase${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$en una amplitud compleja al dejar${\displaystyle C=Ae^{\mathrm {i} \varphi }}$, lo que da como resultado la ecuación más compacta. $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$$

Si bien la forma compleja tiene un componente imaginario, después de realizar los cálculos necesarios en el plano complejo, se puede extraer su valor real (que corresponde a la onda que uno observaría o mediría físicamente), obteniendo así una ecuación de valor real que representa una onda plana real. $${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$$

La principal razón para trabajar con la forma exponencial compleja de las ondas planas es que, a menudo, las exponenciales complejas son algebraicamente más fáciles de manejar que los senos y cosenos trigonométricos. En concreto, las reglas de suma de ángulos son extremadamente sencillas para las exponenciales.

Además, al utilizar técnicas de análisis de Fourier para ondas en un medio con pérdidas , la atenuación resultante es más fácil de manejar mediante coeficientes de Fourier complejos . Si una onda viaja a través de un medio con pérdidas, su amplitud deja de ser constante y, por lo tanto, estrictamente hablando, ya no se trata de una onda plana perfecta.

En mecánica cuántica, las soluciones de la ecuación de onda de Schrödinger son, por su propia naturaleza, de valores complejos y, en el caso más simple, adoptan una forma idéntica a la representación de onda plana compleja descrita anteriormente. Sin embargo, el componente imaginario en ese caso no se ha introducido por conveniencia matemática, sino que es, de hecho, una parte inherente de la "onda".

En la relatividad especial , se puede utilizar una expresión aún más compacta mediante el uso de cuadrivectores .

De este modo, $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$$ se convierte $${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}})]}$$

Las ecuaciones que describen la radiación electromagnética en un medio dieléctrico homogéneo admiten como soluciones particulares ondas planas sinusoidales. En electromagnetismo , el campo${\displaystyle F}$es típicamente el campo eléctrico , el campo magnético o el potencial vectorial , que en un medio isotrópico es perpendicular a la dirección de propagación.${\displaystyle {\hat {n}}}$. La amplitud${\displaystyle A}$es entonces un vector de la misma naturaleza, igual al campo de máxima intensidad. La velocidad de propagación${\displaystyle c}$será la velocidad de la luz en ese medio.

Las ecuaciones que describen las vibraciones en un sólido elástico homogéneo también admiten soluciones que son ondas planas sinusoidales, tanto transversales como longitudinales. Estos dos tipos tienen velocidades de propagación diferentes, que dependen de la densidad y de los parámetros de Lamé del medio.

El hecho de que el medio imponga una velocidad de propagación significa que los parámetros${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle k}$debe satisfacer una relación de dispersión característica del medio. La relación de dispersión se expresa a menudo como una función,${\displaystyle \omega (k)}$. La proporción${\displaystyle \omega /|k|}$proporciona la magnitud de la velocidad de fase y la derivada${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$da la velocidad de grupo . Para el electromagnetismo en un medio isotrópico con índice de refracción${\displaystyle r}$, la velocidad de fase es${\displaystyle c/r}$, que es igual a la velocidad de grupo si el índice no depende de la frecuencia.

En medios uniformes lineales, una solución general a la ecuación de onda puede expresarse como una superposición de ondas planas sinusoidales. Este enfoque se conoce como el método del espectro angular . La forma de la solución de onda plana es en realidad una consecuencia general de la simetría traslacional . De manera más general, para estructuras periódicas que tienen simetría traslacional discreta, las soluciones toman la forma de ondas de Bloch , sobre todo en materiales atómicos cristalinos , pero también en cristales fotónicos y otras ecuaciones de onda periódicas. Como otra generalización, para estructuras que son uniformes solo a lo largo de una dirección${\displaystyle x}$(como una guía de ondas a lo largo de la${\displaystyle x}$dirección), las soluciones (modos de guía de ondas) son de la forma${\displaystyle exp[i(kx-\omega t)]}$multiplicado por alguna función de amplitud${\displaystyle a(y,z)}$Este es un caso especial de una ecuación diferencial parcial separable .

Luz polarizada linealmente

Luz polarizada circularmente

Los bloques de vectores representan cómo la magnitud y la dirección del campo eléctrico son constantes en todo un plano perpendicular a la dirección de desplazamiento.

En la primera ilustración, a la derecha, se representa una onda electromagnética polarizada linealmente . Dado que se trata de una onda plana, cada vector azul , que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto del eje hasta la onda sinusoidal, representa la magnitud y la dirección del campo eléctrico en todo un plano perpendicular al eje.

En la segunda ilustración se representa una onda plana electromagnética polarizada circularmente . Cada vector azul, que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto del eje hasta la hélice, también representa la magnitud y la dirección del campo eléctrico en todo un plano perpendicular al eje.

En ambas ilustraciones, a lo largo de los ejes se observa una serie de vectores azules más cortos, que son versiones reducidas de los vectores azules más largos. Estos vectores azules más cortos se extrapolan al bloque de vectores negros que llenan un volumen del espacio. Nótese que, para un plano dado, los vectores negros son idénticos, lo que indica que la magnitud y la dirección del campo eléctrico son constantes a lo largo de ese plano.

En el caso de la luz polarizada linealmente, la intensidad del campo varía de un plano a otro desde un máximo en una dirección, pasando por cero, para luego volver a subir hasta un máximo en la dirección opuesta.

En el caso de la luz polarizada circularmente, la intensidad del campo permanece constante de un plano a otro, pero su dirección cambia progresivamente de forma rotatoria.

En ninguna de las ilustraciones se muestra el campo magnético correspondiente al campo eléctrico , cuya intensidad es proporcional a la del campo eléctrico en cada punto del espacio, pero es perpendicular a este. Las ilustraciones de los vectores del campo magnético serían prácticamente idénticas, salvo que todos los vectores estarían rotados 90 grados alrededor del eje de propagación, de modo que fueran perpendiculares tanto a la dirección de propagación como al vector del campo eléctrico.

La relación entre las amplitudes de los componentes del campo eléctrico y magnético de una onda plana en el espacio libre se conoce como impedancia de onda en el espacio libre , igual a 376,730313 ohmios.

• Método del espectro angular
• haz colimado
• Ondas planas en el vacío
• Expansión de ondas planas
• propagación rectilínea
• ecuación de onda