Conjetura de la hermana Beiter

En matemáticas, la conjetura de la Hermana Beiter es una conjetura sobre el tamaño de los coeficientes de los polinomios ciclotómicos ternarios (es decir, donde el índice es el producto de tres números primos). Recibe su nombre de Marion Beiter , una monja católica que la propuso por primera vez en 1968. ^{[ 1 ]}

Para${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>0}}$el coeficiente máximo (en valor absoluto) del polinomio ciclotómico${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$se denota por${\displaystyle A(n)}$.

Dejar${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$sean tres números primos. En este caso, el polinomio ciclotómico${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$se denomina ternario . En 1895, A.S. Bang ^{[ 2 ]} demostró que${\displaystyle A(pqr)\leq p-1}$Esto implica la existencia de${\displaystyle M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ primo}}}A(pqr)}$de tal manera que${\displaystyle 1\leq M(p)\leq p-1}$.

La hermana Beiter conjeturó ^{[ 1 ]} en 1968 que${\displaystyle M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}}$Esto fue refutado más tarde, pero se propuso una conjetura corregida de la Hermana Beiter como${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p}$.

Un preimpreso ^{[ 3 ]} de 2023 explica la historia en detalle y afirma probar esta conjetura corregida. Explícitamente afirma probar $${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ y }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.}$$