Líneas oblicuas

Si cada línea de un par de líneas oblicuas está definida por dos puntos por los que pasa, entonces estos cuatro puntos no deben ser coplanares, por lo que deben ser los vértices de un tetraedro de volumen distinto de cero . Recíprocamente, cualquier par de puntos que defina un tetraedro de volumen distinto de cero también define un par de líneas oblicuas. Por lo tanto, una prueba para determinar si dos pares de puntos definen líneas oblicuas consiste en aplicar la fórmula del volumen de un tetraedro en función de sus cuatro vértices. Denotando un punto como el vector de 1×3 a, cuyos tres elementos son las tres coordenadas del punto, y denotando de la misma manera b , c y d para los otros puntos, podemos comprobar si la línea que pasa por a y b es oblicua a la línea que pasa por c y d , observando si la fórmula del volumen del tetraedro da un resultado distinto de cero:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}$

Expresar las dos líneas como vectores:

${\displaystyle {\text{Línea 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{Línea 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

El producto cruzado de${\displaystyle \mathbf {d_ {1}}}$y${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$es perpendicular a las líneas.

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

El plano formado por las traslaciones de la Línea 2 a lo largo de${\displaystyle \mathbf {n} }$contiene el punto${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$y es perpendicular a${\displaystyle \mathbf {n_ {2}} =\mathbf {d_ {2}} \times \mathbf {n}}$.

Por lo tanto, el punto de intersección de la Línea 1 con el plano mencionado anteriormente, que también es el punto en la Línea 1 más cercano a la Línea 2, viene dado por

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

De manera similar, el punto en la Línea 2 más cercano a la Línea 1 viene dado por (donde${\displaystyle \mathbf {n_ {1}} =\mathbf {d_ {1}} \times \mathbf {n}}$)

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

Una configuración de líneas oblicuas es un conjunto de líneas en el que todos los pares son oblicuos. Se dice que dos configuraciones son isotópicas si es posible transformar continuamente una configuración en la otra, manteniendo durante toda la transformación la invariante de que todos los pares de líneas permanecen oblicuas. Cualquier par de configuraciones de dos líneas se ve fácilmente que son isotópicas, y las configuraciones del mismo número de líneas en dimensiones superiores a tres siempre son isotópicas, pero existen múltiples configuraciones no isotópicas de tres o más líneas en tres dimensiones. ^{[ 2 ]} El número de configuraciones no isotópicas de n líneas en R ³ , comenzando en n = 1, es

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (secuencia A110887 en el OEIS ) .

Si se hace girar una línea L alrededor de otra línea M de forma oblicua pero no perpendicular a ella, la superficie de revolución barrida por L es un hiperboloide de una hoja . Por ejemplo, los tres hiperboloides visibles en la ilustración se pueden formar de esta manera haciendo girar una línea L alrededor de la línea vertical blanca central M. Las copias de L dentro de esta superficie forman una regla ; el hiperboloide también contiene una segunda familia de líneas que también son oblicuas a M a la misma distancia que L de ella, pero con el ángulo opuesto, que forman la regla opuesta. Las dos reglas muestran el hiperboloide como una superficie reglada .

Una transformación afín de esta superficie reglada produce una superficie que, en general, tiene una sección transversal elíptica en lugar de la sección transversal circular producida al rotar L alrededor de L'; dichas superficies también se denominan hiperboloides de una hoja y, de nuevo, están regidas por dos familias de líneas oblicuas entre sí. Un tercer tipo de superficie reglada es el paraboloide hiperbólico . Al igual que el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico tiene dos familias de líneas oblicuas; en cada una de las dos familias, las líneas son paralelas a un plano común, aunque no entre sí. Cualquier conjunto de tres líneas oblicuas en R ³ se encuentra exactamente sobre una superficie reglada de uno de estos tipos. ^{[ 3 ]}

Si tres rectas alabeadas intersecan a otras tres rectas alabeadas, cualquier transversal del primer conjunto de tres interseca a cualquier transversal del segundo conjunto. ^{[ 4 ] [ 5 ]}