Cuadro juvenil

Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , especialmente cuando se representa con puntos) es una colección finita de cajas o celdas, dispuestas en filas alineadas a la izquierda, con longitudes de fila en orden no creciente. Al enumerar el número de cajas en cada fila, se obtiene una partición λ de un entero no negativo n , que representa el número total de cajas del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene forma λ y contiene la misma información que dicha partición. La inclusión de un diagrama de Young en otro define un orden parcial en el conjunto de todas las particiones, que de hecho es una estructura reticular , conocida como retículo de Young . Al enumerar el número de cajas de un diagrama de Young en cada columna, se obtiene otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; se obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.

Existe un acuerdo casi universal en que, al etiquetar las casillas de los diagramas de Young mediante pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo, la casilla dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, por consiguiente, los tableaux: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, mientras que la segunda las apila una encima de la anterior. Dado que la primera convención la utilizan principalmente los angloparlantes, mientras que la segunda suele ser la preferida por los francófonos , es habitual referirse a estas convenciones como la notación inglesa y la notación francesa , respectivamente ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonald aconseja a los lectores que prefieren la convención francesa que «lean este libro al revés en un espejo» (Macdonald 1979, p.  2). Esta nomenclatura probablemente comenzó como una broma. La notación inglesa corresponde a la que se utiliza universalmente para las matrices, mientras que la notación francesa se acerca más a la convención de coordenadas cartesianas ; sin embargo, la notación francesa se diferencia de esta convención al colocar la coordenada vertical primero. La figura de la derecha muestra, utilizando la notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, que mide las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).

Un diagrama de Young _se obtiene rellenando las casillas del diagrama con símbolos de un alfabeto , que generalmente debe ser un conjunto totalmente ordenado . Originalmente _, ese alfabeto era un conjunto de variables indexadas x₁ , x₂ , x₃ , ..., pero ahora se suele usar un conjunto de números por brevedad. En su aplicación original a las representaciones del grupo simétrico , los diagramas de Young tienen _n entradas distintas, asignadas arbitrariamente a las casillas del diagrama. Un diagrama se denomina estándar si las entradas de cada fila y cada columna son crecientes. El número de diagramas de Young estándar distintos con n entradas viene dado por los números de involución.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (secuencia A000085 en el OEIS ) .

En otras aplicaciones, es natural permitir que un mismo número aparezca más de una vez (o ninguna) en un tableau. Un tableau se denomina semiestándar o estricto por columnas si las entradas aumentan de forma gradual a lo largo de cada fila y de forma estricta a lo largo de cada columna. Registrar la cantidad de veces que aparece cada número en un tableau da como resultado una secuencia conocida como el peso del tableau. Así, los tableaux de Young estándar son precisamente los tableaux semiestándar de peso (1, 1, ..., 1), que requieren que cada entero hasta n aparezca exactamente una vez.

En un tablero de Young estándar, el entero${\displaystyle k}$es un descenso si${\displaystyle k+1}$aparece en una fila estrictamente debajo${\displaystyle k}$. La suma de los descensos se denomina índice mayor del cuadro. ^{[ 3 ]}

Existen varias variantes de esta definición: por ejemplo, en un tableau estricto por filas, las entradas aumentan estrictamente a lo largo de las filas y aumentan débilmente a lo largo de las columnas. Asimismo, se han considerado tableaux con entradas decrecientes , especialmente en la teoría de particiones planas . También existen generalizaciones como los tableaux de dominó o los tableaux de cinta, en los que se pueden agrupar varias casillas antes de asignarles entradas.

Una forma sesgada es un par de particiones ( λ , μ ) tales que el diagrama de Young de λ contiene el diagrama de Young de μ ; se denota por λ / μ . Si λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ...) y μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ...) , entonces la contención de diagramas significa que μ _i  ≤ λ _i  para todo i . El diagrama sesgado de una forma sesgada λ / μ es la diferencia de teoría de conjuntos de los diagramas de Young de λ y μ : el conjunto de cuadrados que pertenecen al diagrama de λ pero no al de μ . Un tablero sesgado de forma λ / μ se obtiene rellenando los cuadrados del diagrama sesgado correspondiente; Un tableau de este tipo es semiestándar si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna, y es estándar si, además, todos los números del 1 al número de cuadrados del diagrama sesgado aparecen exactamente una vez. Si bien el mapeo de particiones a sus diagramas de Young es inyectivo, este no es el caso para el mapeo de formas sesgadas a diagramas sesgados; ^{[ 4 ]} por lo tanto, la forma de un diagrama sesgado no siempre se puede determinar a partir del conjunto de cuadrados llenos únicamente. Aunque muchas propiedades de los tableaux sesgados solo dependen de los cuadrados llenos, algunas operaciones definidas en ellos requieren un conocimiento explícito de λ y μ , por lo que es importante que los tableaux sesgados registren esta información: dos tableaux sesgados distintos pueden diferir solo en su forma, mientras que ocupan el mismo conjunto de cuadrados, cada uno lleno con las mismas entradas. ^{[ 5 ]} Los tableaux de Young se pueden identificar con tableaux sesgados en los que μ es la partición vacía (0) (la partición única de 0).

Cualquier tableau semiestándar asimétrico T de forma λ / μ con entradas enteras positivas da lugar a una secuencia de particiones (o diagramas de Young), comenzando con μ y tomando como partición i la que se encuentra más adelante en la secuencia, aquella cuyo diagrama se obtiene a partir del de μ sumando todas las casillas que contienen un valor  ≤ i en T ; esta partición finalmente se vuelve igual a λ . Cualquier par de formas sucesivas en dicha secuencia es una forma asimétrica cuyo diagrama contiene como máximo una casilla en cada columna; dichas formas se denominan franjas horizontales . Esta secuencia de particiones determina completamente T , y de hecho es posible definir tableaux semiestándar (asimétricos) como tales secuencias, como lo hace Macdonald (Macdonald 1979, p. 4). Esta definición incorpora las particiones λ y μ en los datos que componen el tableau asimétrico.   

Longitudes de gancho de las cajas para la partición 10  =  5  +  4  +  1

La dimensión de la representación irreducible π _λ del grupo simétrico S _n correspondiente a una partición λ de n es igual al número de diferentes diagramas de Young estándar que se pueden obtener a partir del diagrama de la representación. Este número se puede calcular mediante la fórmula de la longitud del gancho .

La longitud de gancho hook( x ) de una caja x en el diagrama de Young Y ( λ ) de forma λ es el número de cajas que se encuentran en la misma fila a su derecha más las cajas en la misma columna debajo de ella, más una (para la caja misma). Según la fórmula de la longitud de gancho, la dimensión de una representación irreducible es n ! dividido por el producto de las longitudes de gancho de todas las cajas en el diagrama de la representación:

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.}$

La figura de la derecha muestra las longitudes de los ganchos para todas las cajas en el diagrama de la partición 10 = 5 + 4 + 1. Por lo tanto

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

De manera similar, la dimensión de la representación irreducible W ( λ ) de GL _r correspondiente a la partición λ de n (con como máximo r partes) es el número de tablas de Young semiestándar de forma λ (que contienen solo las entradas de 1 a r ), que viene dado por la fórmula de longitud de gancho:

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+ji}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

donde el índice i indica la fila y j la columna de una caja. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, para la partición (5,4,1) obtenemos como dimensión de la representación irreducible correspondiente de GL ₇ (recorriendo las cajas por filas):

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

Una representación del grupo simétrico con n elementos, S _n, es también una representación del grupo simétrico con n − 1 elementos, S _{n −1} . Sin embargo, una representación irreducible de S _n puede no ser irreducible para S _{n −1} . En cambio, puede ser una suma directa de varias representaciones que sí son irreducibles para S _{n −1} . Estas representaciones se denominan entonces factores de la representación restringida (véase también representación inducida ).

La cuestión de determinar esta descomposición de la representación restringida de una representación irreducible dada de S _n , correspondiente a una partición λ de n , se responde de la siguiente manera. Se forma el conjunto de todos los diagramas de Young que se pueden obtener del diagrama de forma λ quitando solo una caja (que debe estar al final tanto de su fila como de su columna); la representación restringida se descompone entonces como una suma directa de las representaciones irreducibles de S _{n −1} correspondientes a esos diagramas, apareciendo cada una exactamente una vez en la suma.