El problema de La Bella Durmiente

La tercera postura argumenta que la probabilidad de cara es 1/3. Adam Elga argumentó originalmente a favor de esta postura ^{[ 3 ]} de la siguiente manera: Supongamos que a la Bella Durmiente se le dice y llega a creer completamente que la moneda cayó cruz. Incluso por un principio de indiferencia muy restringido , dado que la moneda cae cruz, su creencia de que es lunes debería ser igual a su creencia de que es martes, ya que estar en una situación sería subjetivamente indistinguible de la otra. En otras palabras, P(lunes | Cruz) = P(martes | Cruz), y por lo tanto

P(Cruz y martes) = P(Cruz y lunes).

Supongamos ahora que a la Bella Durmiente se le dice al despertar y llega a creer completamente que es lunes. Guiada por la probabilidad objetiva de que caiga cara igual a la probabilidad de que caiga cruz, debería cumplirse que P(Cruz|Lunes) = P(Cara|Lunes), y por lo tanto

P(Cruz y martes) = P(Cruz y lunes) = P(Cara y lunes).

Dado que estos tres resultados son exhaustivos y excluyentes para un ensayo (y por lo tanto sus probabilidades deben sumar 1), la probabilidad de cada uno es entonces 1/3 según los dos pasos anteriores del argumento.

Un argumento alternativo es el siguiente: La confianza puede considerarse como la cantidad que un apostador racional y neutral al riesgo apostaría si la ganancia por acertar es de 1 unidad (la apuesta en sí se pierde en cualquier caso). En el escenario de cara, Sleeping Beauty gastaría su apuesta una vez y recibiría 1 unidad por acertar. En el escenario de cruz, gastaría su apuesta dos veces y no recibiría nada. Por lo tanto, su valor esperado es ganar 0,5 veces su apuesta, pero también perder 1,5 veces su apuesta, por lo que debería quedar en tablas si su apuesta es de 1/3.

David Lewis respondió al artículo de Elga con la postura de que la creencia de la Bella Durmiente de que la moneda cayó cara debería ser 1/2. ^{[ 8 ]} La Bella Durmiente no recibe información nueva que no sea de autolocalización a lo largo del experimento porque se le informan los detalles del mismo. Dado que su creencia antes del experimento es P(Cara) = 1/2, debería seguir teniendo una creencia de P(Cara) = 1/2 ya que no obtiene ninguna evidencia nueva relevante cuando despierta durante el experimento. Esto contradice directamente una de las premisas del tercero, ya que significa que P(Cruz|Lunes) = 1/3 y P(Cara|Lunes) = 2/3.

Filósofos como Christopher Hitchcock han argumentado en contra de la postura de los "halfers" al sostener que La Bella Durmiente está sujeta a los libros holandeses si les asigna una credibilidad de 1/2. ^{[ 9 ]} Se ha argumentado que los "halfers" pueden evitar los libros holandeses adoptando la teoría de la decisión evidencial . Sin embargo, Vincent Conitzer argumenta que los "halfers" siguen viéndose afectados por los libros holandeses incluso después de adoptar la teoría de la decisión evidencial. ^{[ 10 ]}

La posición del doble mitad ^{[ 11 ]} sostiene que tanto P(Cara) como P(Cara|Lunes) son iguales a 1/2. Mikaël Cozic, ^{[ 12 ]} en particular, sostiene que las proposiciones sensibles al contexto como "es lunes" son en general problemáticas para la condicionalización y propone el uso de una regla de imágenes en su lugar, que apoya la posición del doble mitad.

Otro enfoque del problema de la Bella Durmiente es afirmar que el problema, tal como está planteado, es ambiguo. Esta perspectiva afirma que las posiciones de tercio y mitad son ambas respuestas correctas, pero a preguntas diferentes. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} La idea clave es que la pregunta formulada a la Bella Durmiente, "¿cuál es tu creencia de que la moneda salió cara?", es ambigua. La pregunta debe desambiguarse en función del evento particular cuya probabilidad deseamos medir. Las dos desambiguaciones son: "¿cuál es tu creencia de que la moneda cayó cara en el acto de lanzarla?" y "¿cuál es tu creencia de que la moneda cayó cara en el lanzamiento para preparar este despertar?"; a las cuales, las respuestas correctas son 1/2 y 1/3, respectivamente.

Otra forma de ver las dos preguntas diferentes es simplificar el problema de la Bella Durmiente de la siguiente manera. ^{[ 13 ]} Imaginemos que lanzamos una moneda: si sale cara, se coloca una bola verde en una caja; si sale cruz, se colocan dos bolas rojas. Repetimos este procedimiento muchas veces hasta que la caja esté llena de bolas. Luego, se extrae una bola de la caja. En este contexto, la pregunta del problema original se reduce a dos preguntas diferentes: "¿Cuál es la probabilidad de que se haya colocado una bola verde en la caja?" y "¿Cuál es la probabilidad de que se haya extraído una bola verde de la caja?". Estas preguntas indagan sobre la probabilidad de dos eventos diferentes y, por lo tanto, pueden tener respuestas distintas, aunque ambos eventos dependan causalmente de que la moneda caiga cara. (Este hecho es aún más evidente si consideramos las preguntas complementarias: "¿Cuál es la probabilidad de que se hayan colocado dos bolas rojas en la caja?" y "¿Cuál es la probabilidad de que se haya extraído una bola roja de la caja?").

Esta visión evidentemente viola el principio de que, si el evento A ocurre si y solo si ocurre el evento B, entonces deberíamos tener la misma credibilidad para el evento A y el evento B. ^{[ 16 ]} Sin embargo, este principio no es aplicable porque los espacios muestrales son diferentes.

El supuesto de automuestreo ( SSA ) establece que:

En igualdad de condiciones, un observador debería razonar como si fuera seleccionado aleatoriamente del conjunto de todos los observadores realmente existentes (pasados, presentes y futuros) en su clase de referencia.

Por ejemplo, si hay un lanzamiento de moneda que al obtener cara crea un observador, mientras que al obtener cruz crea dos, entonces tenemos dos mundos posibles, el primero con un observador, el segundo con dos. Estos mundos son igualmente probables, por lo tanto, la probabilidad SSA de ser el primer (y único) observador en el mundo de cara es 1/2, la de ser el primer observador en el mundo de cruz es 1/2 × 1/2 = 1/4 , y la probabilidad de ser el segundo observador en el mundo de cruz también es 1/4 .

Por eso, SSA da una respuesta de 1/2 probabilidad de cara en el problema de la Bella Durmiente . ^{[ 17 ]}

A diferencia de SIA, SSA depende de la elección de la clase de referencia . Si los agentes del ejemplo anterior pertenecieran a la misma clase de referencia que un billón de otros observadores, la probabilidad de estar en el mundo de las cabezas, al saber que se encuentran en el problema de la Bella Durmiente, es aproximadamente 1/3 , similar a SIA. SSA puede implicar el argumento del fin del mundo según la elección de la clase de referencia .

Bostrom ha sugerido refinar el SSA ( Supuesto de Automuestreo Fuerte), al que denomina Supuesto de Automuestreo Fuerte (SSSA), que reemplaza a los "observadores" en la definición de SSA por "momentos de observación". Esto coincide con la intuición de que un observador que vive más tiempo tiene más oportunidades de experimentar su propia existencia, y proporciona flexibilidad para refinar las clases de referencia en ciertos experimentos mentales con el fin de evitar conclusiones paradójicas.

El supuesto de autoindicación ( SIA , por sus siglas en inglés) es un principio filosófico definido en el sesgo antrópico . Este principio establece que:

En igualdad de condiciones, un observador debería razonar como si fuera seleccionado aleatoriamente del conjunto de todos los observadores posibles .

Tenga en cuenta que la selección "aleatoria" se pondera según la probabilidad de que existan los observadores: según el SIA, sigue siendo improbable que usted sea un observador improbable, a menos que haya muchos de ellos.

Por ejemplo, si al lanzar una moneda, si sale cara, se crea un observador, mientras que si sale cruz se crean dos, entonces tenemos tres posibles observadores (el primero si sale cara, el primero si sale cruz y el segundo si sale cruz). Cada uno de estos observadores tiene la misma probabilidad de existir, por lo que SIA asigna una probabilidad de 1/3 a cada uno. Alternativamente, esto podría interpretarse como que hay dos posibles observadores (el primero si sale cara o cruz, el segundo si sale cruz), el primero con probabilidad uno y el segundo con probabilidad 1/2 , por lo que SIA asigna 2/3 a ser el primer observador y 1/3 a ser el segundo , lo cual es lo mismo que la primera interpretación .

Por eso, SIA da como respuesta una probabilidad de 1/3 de obtener cara en el problema de la Bella Durmiente .

Nótese que, a diferencia de SSA, SIA no depende de la elección de la clase de referencia, siempre que esta sea lo suficientemente amplia como para contener a todos los observadores subjetivamente indistinguibles. Si la clase de referencia es amplia, SIA aumentará la probabilidad, pero esto se compensa con la probabilidad mucho menor de que el agente sea ese agente en particular dentro de la clase de referencia más amplia.

Esto difiere del original en que hay un millón y un despertares si sale cruz. Fue formulado por Nick Bostrom . ^{[ 16 ] [ 18 ]}

Una variante formulada por Vincent Conitzer consiste en lanzar dos monedas justas. La Bella Durmiente despierta tanto el lunes como el martes, y se le muestra el resultado de una de las monedas. El lunes se le muestra el resultado de la primera moneda, y el martes, el de la segunda. No puede distinguir las monedas, y por lo tanto, no puede saber qué día es basándose en ellas. A continuación, se le pide a la Bella Durmiente que asigne una probabilidad a que ambos lanzamientos sean iguales, es decir, que salgan dos caras o dos cruces. Conitzer argumenta que aplicar la regla de Halfer da como resultado una probabilidad de ⅓, lo que, según él, viola el principio de reflexión. ^{[ 19 ]}

El problema del hijo del marinero, presentado por Radford M. Neal , es algo similar. Involucra a un marinero que navega regularmente entre puertos. En un puerto hay una mujer que desea tener un hijo con él, y al otro lado del mar hay otra mujer que también desea tener un hijo con él. El marinero no puede decidir si tendrá uno o dos hijos, así que lo deja en manos de un lanzamiento de moneda. Si sale cara, tendrá un hijo, y si sale cruz, dos hijos (uno con cada mujer; presumiblemente los hijos nunca se conocerán). Pero si la moneda cae en cara, ¿con cuál de las dos mujeres tendría su hijo? Lo decidiría consultando la Guía de Puertos del Marinero, y la mujer del puerto que aparezca primero sería con quien tendría un hijo. Usted es su hijo. No tiene una copia de la Guía de Puertos del Marinero. ¿Cuál es la probabilidad de que usted sea su único hijo, y por lo tanto la moneda haya caído en cara (suponiendo una moneda justa)? ^{[ 20 ]}