Función de Slepian

Las funciones slepianas son una clase de funciones espacioespectralmente concentradas ^{[ 1 ] [ 2 ]} que forman una base ortogonal para espacios con ancho de banda limitado o limitados espacialmente. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Es decir, están concentradas en el espacio o el tiempo mientras que el ancho de banda es limitado espectralmente, o concentradas en la banda espectral mientras que el espacio o el tiempo son limitados. Se utilizan ampliamente como funciones base para la aproximación constructiva ^{[ 7 ]} y en problemas inversos lineales , ^{[ 8 ] [ 9 ]} y como funciones de ventana o de apodización ^{[ 10 ]} en problemas cuadráticos ^{[ 11 ]} de estimación de densidad espectral . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Existen construcciones de funciones de Slepian en variedades discretas (regulares ^{[ 14 ]} e irregulares ^{[ 15 ]} ) y continuas ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] , en una, dos y tres dimensiones [ 19 ]} , en geometría cartesiana y esférica , en superficies y volúmenes ^{[ 20 ]} , en grafos ^{[ 21 ]} y en formas escalares, vectoriales ^{[ 22 ] y tensoriales [ 23 ]} .

Sin hacer referencia a ninguna de estas particularidades, ^{[ 24 ]} dejemos${\displaystyle f}$Sea una función de cuadrado integrable del espacio físico, y sea${\displaystyle {\mathcal {H}}}$representan la transformación de Fourier, de tal manera que${\displaystyle F={\mathcal {H}}f}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}F=f}$. Dejemos que los operadores${\displaystyle {\mathcal {R}}}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}}$proyectar sobre el espacio de funciones limitadas espacialmente, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$y el espacio de funciones de banda limitada,${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L}}$, respectivamente, por lo cual${\displaystyle R}$es una subregión arbitraria no trivial de todo el espacio físico, y${\displaystyle L}$una subregión arbitraria no trivial del espacio espectral. Por lo tanto, el operador${\displaystyle {\mathcal {R}}}$actúa para limitar el espacio y el operador ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}}$actúa para limitar la banda de la función${\displaystyle f}$.

El problema de concentración espectral cuadrática de Slepian tiene como objetivo maximizar la concentración de potencia espectral en una región objetivo.${\displaystyle L}$para una función que está limitada espacialmente a una región objetivo. ${\displaystyle R}$. Por el contrario, el problema de concentración espacial de Slepian maximiza la concentración espacial a${\displaystyle R}$de una función con ancho de banda limitado a${\displaystyle L}$. Usando${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$Para el producto interno tanto en el dominio espacial como en el espectral, ambos problemas se plantean de forma equivalente utilizando cocientes de Rayleigh en la forma

${\displaystyle \lambda ={\frac {\langle {\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F,{\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F\,\rangle }{\langle {\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F,{\mathcal {H}}^{-1}{\mathcal {L}}\,F\,\rangle }}={\frac {\langle {\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f,{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f\rangle }{\langle {\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f,{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}f\rangle }}={\mbox{máximo}}.}$

Las ecuaciones equivalentes de valores propios en el dominio espectral y en el dominio espacial son:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1\!}{\mathcal {L}})({\mathcal {L}}\,F\,)=\lambda ({\mathcal {L}}\,F\,)}$y${\displaystyle ({\mathcal {R}}{\mathcal {H}}^{-1\!}{\mathcal {L}}{\mathcal {H}}{\mathcal {R}})({\mathcal {R}}f)=\lambda ({\mathcal {R}}f),}$

dado que${\displaystyle {\mathcal {H}}}$y${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-1}}$son adjuntos el uno del otro , y que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}}$son autoadjuntos e idempotentes .

Las funciones de Slepian son soluciones a cualquiera de estos tipos de ecuaciones con núcleos definidos positivos , es decir, son funciones de banda limitada. ${\displaystyle G={\mathcal {L}}F}$, concentrado en el dominio espacial dentro${\displaystyle R}$o funciones con limitación espacial de la forma ${\displaystyle h={\mathcal {R}}f}$, concentrado en el dominio espectral dentro${\displaystyle L}$.

Dejar${\displaystyle g(t)}$y su transformada de Fourier${\displaystyle G(\omega )}$estar estrictamente limitado en banda en frecuencia angular entre${\displaystyle [-W,W]}$Intentando concentrarse${\displaystyle g(t)}$en el dominio del tiempo , estar contenido dentro del intervalo de tiempo${\displaystyle [-T,T]}$, equivale a maximizar

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{-T}^{T}g^{2}(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }g^{2}(t)\,dt}}={\text{máximo}},}$

lo cual es equivalente a resolver, en el dominio de la frecuencia , la ecuación integral convolucional de valores propios ( Fredholm ).

${\displaystyle \int _{-W}^{W}D_{T}(\omega ,\omega ')G(\omega ')\,d\omega '=\lambda G(\omega ),\qquad D_{T}(\omega ,\omega ')={\frac {\sin T(\omega -\omega ')}{\pi (\omega -\omega ')}},\qquad |\omega |\leq W,}$

o la versión en el dominio del tiempo o del espacio

${\displaystyle \int _{-T}^{T}D_{W}(t,t')g(t')\,dt'=\lambda g(t),\qquad D_{W}(t,t')={\frac {\sin W(tt')}{\pi (tt')}}=(2\pi )^{-1}\int _{-W}^{W}e^{i\omega (tt')}d\omega ,\qquad t\in \mathbb {R} .}$

Cualquiera de estos puede transformarse y reescalarse a lo adimensional.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}D(x,x')g(x')\,dx'=\lambda g(x),\qquad D(x,x')={\frac {\sin TW(x-x')}{\pi (x-x')}}.}$

La traza del núcleo definido positivo es la suma del número infinito de autovalores reales y positivos,

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{\infty }\lambda _{\alpha }=\int _{-1}^{1}D(x,x')\,dx={\frac {2TW}{\pi }},}$

es decir, el área del dominio de concentración en el espacio tiempo-frecuencia (un producto tiempo-ancho de banda).

Las funciones escalares unidimensionales de Slepian o funciones de atenuación ^{[ 25 ]} son ​​el elemento fundamental del método multitaper de Thomson para la estimación de la densidad espectral .

Nosotros usamos${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$y su transformada de Fourier${\displaystyle G(\mathbf {k} )}$para denotar una función que está estrictamente limitada en banda a${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, una subregión arbitraria del espacio espectral de vectores de onda espaciales. ^{[ 26 ]} Buscando concentrar${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$en una región espacial finita${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{2}}$, de área${\displaystyle A}$, debemos encontrar las funciones desconocidas para las cuales

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{R}g^{2}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} }{\int _{-\infty }^{\infty }g^{2}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} }}={\mbox{maximum}}.}$

Para maximizar este cociente de Rayleigh es necesario resolver la ecuación integral de Fredholm.

${\displaystyle \int _{\mathcal {K}}D_{R}(\mathbf {k} ,\mathbf {k} ')\,G(\mathbf {k} ')\,d\mathbf {k} '=\lambda G(\mathbf {k} ),\qquad D_{R}(\mathbf {k} ,\mathbf {k} ')=(2\pi )^{-2}\int _{R}e^{i(\mathbf {k} '-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} ,\qquad \mathbf {k} \in {\mathcal {K}}.}$

El problema correspondiente en el dominio espacial es

${\displaystyle \int _{R}\!D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,g(\mathbf {x} ')\,d\mathbf {x} '=\lambda g(\mathbf {x} ),\qquad D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=(2\pi )^{-2}\int _{\mathcal {K}}e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}\,d\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}.}$

Concentración en la banda espectral en forma de disco ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\mathbf {k}$ :\|\mathbf {k} \|\leq K\}} nos permite reescribir el núcleo espacial como

${\displaystyle D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {KJ_{1}(K\|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|)}{2\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}},}$

con${\displaystyle J_{1}}$una función de Bessel de primera especie , de la cual podemos derivar que

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{\infty }\lambda _{\alpha }=\int _{R}D_{\mathcal {K}}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =K^{2}{\frac {A}{4\pi }},}$

En otras palabras, nuevamente el área del dominio de concentración en el espacio espacio-frecuencia (un producto espacio-ancho de banda).

Denotamos${\displaystyle g(\mathbf {\hat {r}} )}$una función en la esfera unitaria${\displaystyle \Omega }$y su coeficiente de transformación de armónicos esféricos${\displaystyle g_{lm}}$al grado${\displaystyle l}$ y orden${\displaystyle m}$, respectivamente, ^{[ 24 ]} y consideramos la limitación de banda al grado de armónico esférico${\displaystyle L}$, eso es,${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}_{L}}$Maximizar la relación de energía cuadrática dentro del subdominio espacial.${\displaystyle R\subset \Omega }$a través de

${\displaystyle \lambda ={\frac {\int _{R}g^{2}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }{\int _{\Omega }g^{2}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }}={\mbox{maximum}}}$

cantidades en el dominio espectral para resolver la ecuación algebraica de valores propios

${\displaystyle \sum _{l'=0}^{L}\sum _{m'=-l'}^{l'}D_{lm,l'm'}g_{l'm'}=\lambda g_{lm},\qquad D_{lm,l'm'}=\int _{R}Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} )Y_{l'm'}(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega }$,

con${\displaystyle Y_{lm}}$el armónico esférico en grado${\displaystyle l}$y orden${\displaystyle m}$. La ecuación equivalente en el dominio espacial, ${\displaystyle \int _{R}D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} ')g(\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega =\lambda g(\mathbf {\hat {r}} ),\qquad D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} ')=\sum _{l=0}^{L}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} )Y_{lm}(\mathbf {\hat {r}} ')=\sum _{l=0}^{L}\left({\frac {2l+1}{4\pi }}\right)P_{l}(\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {r}} '),}$es una ecuación integral de Fredholm homogénea de segundo tipo, con un núcleo separable, simétrico y de rango finito.

La última igualdad es una consecuencia del teorema de adición de armónicos esféricos que implica${\displaystyle P_{l}}$, el polinomio de Legendre . La traza de este núcleo viene dada por

${\displaystyle N=\sum _{\alpha =1}^{(L+1)^{2}}\lambda _{\alpha }=\int _{R}D(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {r}} )\,d\Omega =\sum _{l=0}^{L}\sum _{m=-l}^{l}D_{lm,lm}=(L+1)^{2}{\frac {A}{4\pi }},}$

es decir, una vez más un producto espacio-ancho de banda, de la dimensión de${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L}}$y el área fraccionaria de${\displaystyle R}$en la esfera unitaria${\displaystyle \Omega }$, es decir${\displaystyle A/(4\pi )}$.