Espacio Smith

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Smith es un espacio vectorial topológico completo , generado de forma compacta y localmente convexo.${\displaystyle X}$tener un conjunto compacto universal , es decir, un conjunto compacto${\displaystyle K}$que absorbe todos los demás conjuntos compactos${\displaystyle T\subseteq X}$(es decir${\displaystyle T\subseteq \lambda \cdot K}$para algunos${\displaystyle \lambda >0}$).

Los espacios de Smith reciben su nombre de Marianne Ruth Freundlich Smith , quien los introdujo ^{[ 1 ]} como duales de los espacios de Banach en algunas versiones de la teoría de la dualidad para espacios vectoriales topológicos . Todos los espacios de Smith son estereotipos y están en las relaciones de dualidad estereotipo con los espacios de Banach : ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• para cualquier espacio Banach${\displaystyle X}$su estereotipo espacio dual ^{[ 4 ]}${\displaystyle X^{\star }}$es un espacio Smith,

• y viceversa, para cualquier espacio Smith${\displaystyle X}$su estereotipo espacio dual${\displaystyle X^{\star }}$es un espacio Banach.

Los espacios de Smith son casos especiales de espacios de Brauner .

• Como se desprende de los teoremas de dualidad, para cualquier espacio de Banach${\displaystyle X}$su estereotipo espacio dual${\displaystyle X^{\star }}$es un espacio Smith. El polar${\displaystyle K=B^{\circ }}$de la unidad de bola${\displaystyle B}$en${\displaystyle X}$es el conjunto compacto universal en${\displaystyle X^{\star }}$. Si${\displaystyle X^{*}}$denota el espacio dual normado para${\displaystyle X}$, y${\displaystyle X'}$el espacio${\displaystyle X^{*}}$dotado de la${\displaystyle X}$-topología débil, entonces la topología de${\displaystyle X^{\star }}$se encuentra entre la topología de${\displaystyle X^{*}}$y la topología de${\displaystyle X'}$, por lo tanto existen biyecciones naturales (lineales continuas)

${\displaystyle X^{*}\to X^{\star }\to X'.}$

Si${\displaystyle X}$es de dimensión infinita, entonces ninguna de estas topologías coincide. Al mismo tiempo, para dimensión infinita${\displaystyle X}$el espacio${\displaystyle X^{\star }}$no está en barril (y ni siquiera es un espacio Mackey si${\displaystyle X}$es reflexivo como un espacio de Banach ^{[ 5 ]} ).

• Si${\displaystyle K}$es un conjunto compacto equilibrado convexo en un espacio localmente convexo${\displaystyle Y}$, entonces su extensión lineal${\displaystyle {\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)}$posee una estructura única de un espacio Smith con${\displaystyle K}$como el conjunto compacto universal (y con la misma topología en${\displaystyle K}$). ^{[ 6 ]}
• Si${\displaystyle M}$es un espacio topológico compacto (de Hausdorff) y${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$el espacio de Banach de funciones continuas en${\displaystyle M}$(con la norma superior habitual), entonces el espacio dual estereotípico${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$(de medidas de radón en${\displaystyle M}$con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos en${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$) es un espacio de Smith. En el caso especial cuando${\displaystyle M=G}$está dotado de una estructura de grupo topológico el espacio${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$se convierte en un ejemplo natural de un álgebra de grupo estereotípico . ^{[ 7 ]}
• Un espacio Banach${\displaystyle X}$es un espacio Smith si y solo si${\displaystyle X}$es de dimensión finita.

• Espacio de estereotipos
• Espacio Brauner

• Smith, MF (1952). "El teorema de dualidad de Pontrjagin en espacios lineales". Annals of Mathematics . 56 (2): 248– 253. doi : 10.2307/1969798 . JSTOR 1969798 . 
• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica" . Journal of Mathematical Sciences . 113 (2): 179– 349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067 . 
• Akbarov, SS (2009). "Funciones holomorfas de tipo exponencial y dualidad para grupos de Stein con componente conexa algebraica de la identidad". Journal of Mathematical Sciences . 162 (4): 459– 586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 . 
• Furber, RWJ (2017). Dualidad categórica en probabilidad y fundamentos cuánticos (PDF) (PhD). Universidad de Radboud.