Álgebra suave

En álgebra , se dice que una k -álgebra conmutativa A es 0-suave si satisface la siguiente propiedad de elevación: dada una k - álgebra C , un ideal N de C cuyo cuadrado es cero y una función k -álgebra , existe una función k -álgebra tal que u es v seguida de la función canónica. Si existe como máximo una elevación de este tipo v , se dice que A es 0-no ramificada (o 0-ordenada ). Se dice que A es 0-étale si es 0-suave y 0-no ramificada . La noción de 0-suavidad también se denomina suavidad formal . ${\displaystyle u:A\to C/N}$${\displaystyle v:A\to C}$

Un k -álgebra A finitamente generada es 0-suave sobre k si y sólo si Spec  A es un esquema suave sobre k .

Una extensión de campo algebraico separable L de k es 0-étale sobre k . ^[1] El anillo de series de potencias formales es 0-suave solo cuando y (es decir, k tiene una p -base finita .) ^[2] ${\displaystyle k[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$${\displaystyle \operatorname {carácter} k=p>0}$${\displaystyle [k:k^{p}]<\infty }$

Sea B una A -álgebra y supongamos que a B se le da la topología I -ádica, I un ideal de B. Decimos que B es I -suave sobre A si satisface la propiedad de sustentación: dada una A -álgebra C , un ideal N de C cuyo cuadrado es cero y una función de la A -álgebra que es continua cuando se le da la topología discreta , existe una función de la A -álgebra tal que u es v seguida de la función canónica. Como antes, si existe como máximo una sustentación de este tipo v , entonces se dice que B es I- no ramificada sobre A (o I -neat ). Se dice que B es I -étale si es I -suave e I- no ramificada . Si I es el ideal cero y A es un cuerpo , estas nociones coinciden con 0-suave, etc., como se definió anteriormente. ${\displaystyle u:B\to C/N}$${\estilo de visualización C/N}$${\displaystyle v:B\to C}$

Un ejemplo estándar es este: sea A un anillo , y entonces B es I - suave sobre A.${\displaystyle B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$${\displaystyle I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).}$

Sea A una k -álgebra local noetheriana con ideal máximo . Entonces A es -suave si y solo si es un anillo regular para cualquier cuerpo de extensión finito de . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle A\otimes _ {k}k'}$ ${\estilo de visualización k'}$${\estilo de visualización k}$

• morfismo de estrella
• morfismo formalmente suave
• Teorema de Popescu

• Matsumura, H. (1989). Teoría de anillos conmutativos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Traducido por Reid, M. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.