Suavidad (teoría de la probabilidad)

En teoría de la probabilidad y estadística , la suavidad de una función de densidad es una medida que determina cuántas veces se puede diferenciar la función de densidad, o equivalentemente el comportamiento límite de la función característica de la distribución .

Formalmente, llamamos distribución de una variable aleatoria X regular suave de orden β ^{[ 1 ]} si su función característica satisface

${\displaystyle d_{0}|t|^{-\beta }\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{-\beta }\quad {\text{cuando }}t\to \infty }$

para algunas constantes positivas d ₀ , d ₁ , β . Los ejemplos de tales distribuciones son gamma , exponencial , uniforme , etc.

La distribución se denomina supersuave de orden β ^{[ 1 ]} si su función característica satisface

${\displaystyle d_{0}|t|^{\beta _{0}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{\beta _{1}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\quad {\text{cuando }}t\to \infty }$

para algunas constantes positivas d ₀ , d ₁ , β , γ y constantes β ₀ , β ₁ . Estas distribuciones supersuaves tienen derivadas de todos los órdenes. Ejemplos: normal , Cauchy , normal mixta.

• Lighthill, MJ (1962). Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas . Londres: Cambridge University Press.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )