Sobre Snell

La envolvente de Snell , utilizada en estocástica y finanzas matemáticas , es la supermartingala más pequeña que domina un proceso estocástico . La envolvente de Snell recibe su nombre de James Laurie Snell .

Dado un espacio de probabilidad filtrado${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$y una medida de probabilidad absolutamente continua${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$luego un proceso adaptado${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$es la envolvente de Snell con respecto a${\displaystyle \mathbb {Q} }$del proceso${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$si

1. ${\displaystyle U}$es un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-supermartingala
2. ${\displaystyle U}$domina${\displaystyle X}$, es decir${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$- casi con toda seguridad para siempre${\displaystyle t\in [0,T]}$
3. Si${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}$es un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-supermartingala que domina${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle V}$domina${\displaystyle U}$. ^{[ 1 ]}

Dado un espacio de probabilidad filtrado (discreto)${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$y una medida de probabilidad absolutamente continua${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$luego el sobre de Snell${\displaystyle (U_{n})_{n=0}^{N}}$con respecto a${\displaystyle \mathbb {Q} }$del proceso${\displaystyle (X_{n})_{n=0}^{N}}$viene dado por el esquema recursivo

${\displaystyle U_{N}:=X_{N},}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$para${\displaystyle n=N-1,...,0}$

dónde${\displaystyle \lor }$es la unión (en este caso igual al máximo de las dos variables aleatorias). ^{[ 1 ]}

• Si${\displaystyle X}$es un pago de opción americana con descuento con sobre de Snell${\displaystyle U}$entonces${\displaystyle U_{t}}$es el requisito mínimo de capital para cubrir${\displaystyle X}$desde el tiempo${\displaystyle t}$hasta la fecha de vencimiento. ^{[ 1 ]}