Snub de 24 celdas

Los vértices de una celda 24 truncada centrada en el origen del espacio 4, con aristas de longitud 2, se obtienen tomando permutaciones pares de

(0, ±1, ±φ, ±φ ² )

donde φ = 1 + √5 / 2 ≈ 1,618 es la proporción áurea .

Las coordenadas de radio unitario de la celda 24 truncada, con aristas de longitud φ ⁻¹ ≈ 0,618, son las permutaciones pares de

(± ⁠ φ / 2 ⁠ , ± ⁠ 1 / 2 ⁠ , ± ⁠ φ ⁻¹ / 2 ⁠ , 0)

Estos 96 vértices se pueden encontrar dividiendo cada una de las 96 aristas de una celda de 24 caras en la proporción áurea de manera consistente y dimensionalmente análoga a como se pueden producir los 12 vértices de un icosaedro u "octaedro truncado" dividiendo las 12 aristas de un octaedro en la proporción áurea. Esto se puede hacer colocando primero vectores a lo largo de las aristas de la celda de 24 caras de manera que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, y luego dividiendo de manera similar cada arista en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. ^{[ 4 ]} Esto es equivalente a la construcción de truncamiento truncado de la celda de 24 caras descrita a continuación.

Los 96 vértices de la celda truncada de 24 lados, junto con los 24 vértices de una celda de 24 lados, forman los 120 vértices de la celda de 600 lados .

La celda truncada de 24 celdas se deriva de la celda de 24 celdas mediante una forma especial de truncamiento .

Las truncaciones eliminan vértices cortando las aristas incidentes al vértice; las formas de truncamiento difieren en el punto de la arista donde se realiza el corte. Las truncaciones comunes de la celda de 24 elementos incluyen la celda de 24 elementos rectificada (que corta cada arista en su punto medio, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 cuboctaedros ) y la celda de 24 elementos truncada (que corta cada arista a un tercio de su longitud desde el vértice, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 octaedros truncados ). En estas truncaciones se produce un cubo en lugar del vértice eliminado, porque la figura del vértice de la celda de 24 elementos es un cubo y los cortes son equidistantes del vértice.

La truncación snub de la celda de 24 ^{[ 4 ]} divide cada arista en dos secciones áureas (de modo que la sección mayor guarda una proporción áurea de ~1,618 con respecto a la sección menor, y la arista original guarda una proporción áurea con respecto a la sección mayor). El corte debe realizarse en direcciones alternas sobre aristas alternas incidentes a cada vértice, para obtener un resultado coherente. Las aristas incidentes a un vértice en la celda de 24 son los 8 radios de su figura cúbica de vértice. La única forma de elegir radios alternos de un cubo es elegir los cuatro radios de un tetraedro (inscrito en el cubo) que se cortarán en la sección menor de su longitud desde el vértice, y los cuatro radios opuestos (del otro tetraedro que se puede inscribir en el cubo) que se cortarán en la sección mayor de su longitud desde el vértice. Por supuesto, hay dos maneras de hacer esto; ambas producen un grupo de cinco tetraedros regulares en lugar del vértice eliminado, en vez de un cubo.

Esta construcción tiene una analogía en 3 dimensiones: la construcción del icosaedro (el " octaedro truncado ") a partir del octaedro, mediante el mismo método. ^{[ 5 ]} Así es como se producen los icosaedros de la celda truncada de 24 celdas a partir de los octaedros de 24 celdas durante la truncación.

La celda truncada de 24 vértices se relaciona con la celda truncada de 24 vértices mediante una operación de alternancia . Se eliminan la mitad de los vértices, las 24 celdas octaédricas truncadas se convierten en 24 celdas icosaédricas , los 24 cubos se convierten en 24 celdas tetraédricas y los 96 huecos de vértices eliminados crean 96 nuevas celdas tetraédricas.

La celda truncada de 24 vértices también puede construirse mediante una disminución particular de la celda de 600 vértices : eliminando 24 vértices de la celda de 600 vértices que corresponden a los de una celda de 24 vértices inscrita , y luego tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. Esto equivale a eliminar 24 pirámides icosaédricas de la celda de 600 vértices.

Por el contrario, la estructura de 600 celdas se puede construir a partir de la estructura truncada de 24 celdas, añadiéndole 24 pirámides icosaédricas.

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl.${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$del orden 120. ^{[ 6 ]} Lo siguiente describe${\displaystyle T}$y${\displaystyle T'}$24-celdas como pesos de órbitas de cuaterniones de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4):

O(0100)  : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000)  : V1

O(0010)  : V2

O(0001)  : V3

Con cuaterniones${\displaystyle (p,q)}$dónde${\displaystyle {\bar {p}}}$es el conjugado de${\displaystyle p}$y${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$y${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$, luego el grupo Coxeter${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$es el grupo de simetría de la celda 600 y la celda 120 de orden 14400.

Dado${\displaystyle p\in T}$de tal manera que${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$y${\displaystyle p^{\dagger }}$como un intercambio de${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$dentro${\displaystyle p}$, podemos construir el snub de 24 celdas como${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$

Las células icosaédricas encajan cara a cara, dejando huecos entre ellas que son llenados por grupos de cinco células tetraédricas. ^{[ 7 ]}

Cada celda icosaédrica se une a otras 8 celdas icosaédricas en 8 caras triangulares, en las posiciones que corresponden a un octaedro inscrito. Las caras triangulares restantes se unen a celdas tetraédricas, que aparecen en pares que comparten una arista con la celda icosaédrica.

Las celdas tetraédricas se pueden dividir en dos grupos, de 96 celdas amarillas y 24 rojas respectivamente (como se muestra en la ilustración de la red). Cada celda tetraédrica amarilla se une mediante sus caras triangulares a 3 celdas icosaédricas azules y una roja, mientras que cada celda tetraédrica roja se une a 4 tetraedros amarillos. De esta forma, las celdas tetraédricas se presentan en grupos de cinco (cuatro celdas amarillas unidas por caras alrededor de una roja central, cada par rojo/amarillo situado en un hiperplano diferente). El tetraedro rojo central de los cinco comparte cada una de sus seis aristas con una celda icosaédrica diferente, y con el par de celdas tetraédricas amarillas que comparte esa arista con la celda icosaédrica.

El snub 24-celda tiene tres coloraciones transitivas de vértices basadas en una construcción de Wythoff sobre un grupo de Coxeter del que se alterna : F ₄ define 24 icosaedros intercambiables, mientras que el grupo B ₄ define dos grupos de icosaedros en una proporción de 8:16, y finalmente el grupo D ₄ tiene 3 grupos de icosaedros con una proporción de 8:8:8. ^{[ 8 ]}