El hexlet de Soddy

En geometría , el hexlete de Soddy es una cadena de seis esferas (mostradas en gris en la Figura 1), cada una tangente a sus dos vecinas y también a tres esferas dadas que son tangentes entre sí. En la Figura 1, las tres esferas son la esfera interior roja y dos esferas (no mostradas) situadas por encima y por debajo del plano sobre el que se encuentran los centros de las esferas del hexlete. Además, las esferas del hexlete son tangentes a una cuarta esfera (la esfera exterior azul en la Figura 1), que no es tangente a las otras tres.

El hexlet de Soddy fue descubierto en Japón, como lo demuestran las tablillas Sangaku de 1822 en la prefectura de Kanagawa . ^{[ 1 ]} Frederick Soddy lo redescubrió independientemente en un artículo de 1937. ^{[ 2 ]} Soddy demostró que siempre es posible encontrar un hexlet para cualquier elección de esferas mutuamente tangentes A , B y C. De hecho, existe una familia infinita de hexlets relacionados por rotación y escala de las esferas hexlet (Figura 1); en esto, el hexlet de Soddy es el análogo esférico de una cadena de Steiner de seis círculos. ^{[ 3 ]} De acuerdo con las cadenas de Steiner, los centros de las esferas hexlet se encuentran en un solo plano, sobre una elipse.

El hexlet de Soddy es una cadena de seis esferas, etiquetadas de _S1 a S6 , cada una de las cuales es tangente a tres esferas dadas, A , B y C , que _a su vez son tangentes entre sí en tres puntos distintos. (Para mayor coherencia a lo largo del artículo, las esferas del hexlet siempre se representarán en gris, A y B en verde, y la esfera C en azul). Las esferas del hexlet también son tangentes a una cuarta esfera fija D (siempre mostrada en rojo ) que no es tangente a las otras tres, A , B y C.

Cada esfera del hexágono de Soddy es tangente a sus vecinas en la cadena; por ejemplo, la esfera _S4 es tangente a S3 y _{S5 . La cadena es cerrada,} lo que significa que cada esfera en la cadena tiene dos vecinas tangentes; en particular, las esferas inicial y final, S1 y _{S6 ,} son tangentes entre sí.

El hexlet anular de Soddy es un caso especial (Figura 2), en el que las tres esferas mutuamente tangentes consisten en una sola esfera de radio r (azul) intercalada entre dos planos paralelos (verdes) separados por una distancia perpendicular 2r . En este caso, el hexlet de Soddy consta de seis esferas de radio r empaquetadas como rodamientos alrededor de la esfera central y también intercaladas. Las esferas del hexlet son tangentes a una cuarta esfera (roja), que no es tangente a las otras tres.

La cadena de seis esferas puede girarse alrededor de la esfera central sin que se vean afectadas sus tangencias, lo que demuestra que existe una familia infinita de soluciones para este caso. Al girar, las esferas del hexlete describen un toroide (una superficie en forma de rosquilla); en otras palabras, un toroide es la envoltura de esta familia de hexletes.

El problema general de encontrar un hexlet para tres esferas A , B y C mutuamente tangentes se puede reducir al caso anular mediante la inversión . Esta operación geométrica siempre transforma esferas en esferas o en planos, que pueden considerarse esferas de radio infinito. Una esfera se transforma en un plano si y solo si pasa por el centro de inversión. Una ventaja de la inversión es que conserva la tangencia; si dos esferas son tangentes antes de la transformación, lo siguen siendo después. Por lo tanto, si la transformación de inversión se elige con criterio, el problema se puede reducir a un caso más simple, como el hexlet anular de Soddy. La inversión es reversible; al repetir una inversión en el mismo punto, los objetos transformados recuperan su tamaño y posición originales.

La inversión en el punto de tangencia entre las esferas A y B las transforma en planos paralelos, que se pueden denotar como a y b . Dado que la esfera C es tangente tanto a A como a B y no pasa por el centro de inversión, C se transforma en otra esfera c que es tangente a ambos planos; por lo tanto, c queda intercalada entre los dos planos a y b . Este es el hexlet anular de Soddy (Figura 2). Seis esferas s ₁ – s ₆ pueden colocarse alrededor de c y, de igual manera, quedar intercaladas entre los planos delimitadores a y b . La reinversión restaura las tres esferas originales y transforma s ₁ – s ₆ en un hexlet para el problema original. En general, estas esferas hexlet S ₁ – S ₆ tienen radios diferentes.

Se puede generar una variedad infinita de hexlets rotando las seis bolas s ₁ – s ₆ en su plano un ángulo arbitrario antes de invertirlas. La envoltura resultante de dichas rotaciones es el toro que rodea la esfera c y se encuentra entre los dos planos a y b ; por lo tanto, el toro tiene un radio interior r y un radio exterior 3r . Tras la reinversión, este toro se convierte en una ciclídea de Dupin (Figura 3).

La envoltura de los hexlets de Soddy es una ciclide de Dupin , una inversión del toro . Así, la construcción de Soddy muestra que una ciclide de Dupin es la envoltura de una familia de esferas de un parámetro de dos maneras diferentes, y cada esfera de cualquiera de las familias es tangente a dos esferas de la misma familia y a tres esferas de la otra familia. ^{[ 4 ]} Este resultado probablemente era conocido por Charles Dupin , quien descubrió las ciclides que llevan su nombre en su disertación de 1803 bajo la dirección de Gaspard Monge . ^{[ 5 ]}

La intersección del hexlete con el plano de sus centros esféricos produce una cadena de Steiner de seis círculos.

Se supone que las esferas A y B tienen el mismo tamaño.

En cualquier hexlet elíptico , como el que se muestra al principio del artículo, existen dos planos tangentes al hexlet. Para que exista un hexlet elíptico, el radio de C debe ser menor que un cuarto del de A. Si el radio de C es un cuarto del de A , cada esfera se convertirá en un plano durante el recorrido. La imagen invertida muestra un hexlet elíptico normal, y en el hexlet parabólico , el punto donde una esfera se convierte en un plano es precisamente cuando su imagen invertida pasa por el centro de inversión. En dicho hexlet, solo existe un plano tangente al hexlet. La línea que une los centros de un hexlet parabólico es una parábola.

Si C es aún mayor, se forma un hexágono hiperbólico y, por lo tanto _, no hay planos tangentes. Denominemos las esferas S1 a S6 _. S1 no puede extenderse mucho hasta convertirse en un plano (donde su imagen invertida pasa por el centro de inversión) y luego invertir su concavidad (donde su imagen invertida rodea el centro de inversión). Ahora _, la línea que une los centros es una hipérbola.

El caso límite se da cuando A , B y C tienen el mismo tamaño. El hexágono se vuelve recto. _S1 es pequeño al pasar por el agujero entre A , B y C , y crece hasta convertirse en un plano tangente a ellos. El centro de inversión también tiene ahora un punto de tangencia con la imagen de _S6 , por lo que también es un plano tangente a A , B y C. A medida que S1 _avanza , su concavidad se invierte y ahora rodea a todas las demás esferas, siendo tangente a _A , B , C , S2 y S6 _{. S2} se expande y crece hasta convertirse en un plano tangente, mientras que S6 se contrae . S1 entonces obtiene la posición anterior de _{S6 como plano tangente. Luego invierte su concavidad nuevamente y pasa por el agujero otra vez, comenzando otro viaje} de ida _y vuelta. Ahora la línea de centros es una hipérbola degenerada , donde se ha colapsado en dos líneas rectas. ^{[ 3 ]}

Los matemáticos japoneses descubrieron el mismo hexlet más de cien años antes que Soddy. Analizaron los problemas de empaquetamiento en los que círculos y polígonos, bolas y poliedros entran en contacto y, a menudo, hallaron los teoremas relevantes de forma independiente antes de su descubrimiento por los matemáticos occidentales. Solían publicarlos como sangaku . El sangaku sobre el hexlet fue escrito por Irisawa Shintarō Hiroatsu en la escuela de Uchida Itsumi y dedicado al Santuario Samukawa en mayo de 1822. El sangaku original se ha perdido, pero fue registrado en el libro de Uchida, Kokonsankan, en 1832. Se hizo una réplica del sangaku a partir del registro y se dedicó al museo Hōtoku en el Santuario Samukawa en agosto de 2009. ^{[ 6 ]}

El sangaku de Irisawa consta de tres problemas. El tercer problema se relaciona con el hexlet de Soddy: "el diámetro de la esfera circunscrita exterior es de 30 soles . Los diámetros de las bolas del núcleo son de 10 soles y 6 soles cada una. El diámetro de una de las bolas en la cadena de bolas es de 5 soles. Luego pregunté por los diámetros de las bolas restantes. La respuesta es 15 soles, 10 soles, 3,75 soles, 2,5 soles y 2  +  8/11 soles." ^{[ 7 ]}

En su respuesta, se describe el método para calcular los diámetros de las bolas y, al convertirlo a notación matemática , se obtiene la siguiente solución. Si las razones del diámetro de la bola exterior a cada una de las bolas del núcleo son a ₁ , a ₂ , y si las razones del diámetro a las bolas de la cadena son c ₁ , ..., c ₆ , queremos representar c ₂ , ..., c ₆ en términos de a ₁ , a ₂ , y c ₁ . Si $${\displaystyle K={\sqrt {3\left[a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right]}}}$$ entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K\end{aligned}}}$$ de este modo $${\displaystyle c_{1}+c_{4}=c_{2}+c_{5}=c_{3}+c_{6}.}$$

Si r ₁ , ..., r ₆ son los diámetros de seis bolas, obtenemos la fórmula:

$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.}$$

• Amano, Hiroshi (1992), Colección Sangaku en la prefectura de Kanagawa (Kanagawa-ken Sangaku-syū en japonés) , Amano, Hiroshi.
• Coxeter, HSM ( 1952), "Anillos entrelazados de esferas", Scripta Mathematica , 18 : 113–121.
• Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Tony (2008), Matemáticas sagradas: Geometría de los templos japoneses , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12745-3
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), "Pierre Charles François Dupin" , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.
• Ogilvy, CS (1990), Excursiones en geometría , Dover, ISBN 0-486-26530-7.
• Soddy, Frederick (1937), "El cuenco de los enteros y el hexlet", Nature , 139 (3506), Londres: 77–79 , doi : 10.1038/139077a0.
• Rothman, T (1998), "Geometría de los templos japoneses", Scientific American , 278 (5): 85– 91, doi : 10.1038/scientificamerican0598-84.
• Yamaji, Katsunori; Nishida, Tomomi, eds. (2009), Diccionario de Wasan (Wasan no Jiten en japonés) , Asakura, ISBN 978-4-254-11122-4.

• Weisstein, Eric W. "Hexlet" . MathWorld .
• B. Allanson. "Animación del hexlet de Soddy" .
• Geometría de templos japoneses en Wayback Machine (archivado el 19 de marzo de 2019) – La animación 0 del PROBLEMA SANGAKU 0 muestra el caso en que los radios de las esferas A y B son iguales y los centros de las esferas A, B y C están sobre la línea. La animación 1 muestra el caso en que los radios de las esferas A y B son iguales y los centros de las esferas A, B y C no están sobre la línea. La animación 2 muestra el caso en que los radios de las esferas A y B no son iguales. La animación 3 muestra el caso en que los centros de las esferas A, B y C están sobre la línea y los radios de las esferas A y B son variables.
• Réplica de Sangaku en el museo Hōtoku en el santuario Samukawa en Wayback Machine (archivado el 26 de agosto de 2016) – El tercer problema se relaciona con el hexlet de Soddy.
• Página de Kokonsankan (1832) - Departamento de Matemáticas, Universidad de Kioto
• La página de Kokonsankan (1832) – La página izquierda se relaciona con el hexlet de Soddy.