Teorema de Solèr

En matemáticas , el teorema de Solèr es un resultado relativo a ciertos espacios vectoriales de dimensión infinita . Afirma que cualquier forma ortomodular que tenga un conjunto ortonormal infinito es un espacio de Hilbert sobre los números reales , los números complejos o los cuaterniones . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Demostrado originalmente por Maria Pia Solèr , el resultado es significativo para la lógica cuántica ^{[ 3 ] [ 4 ]} y los fundamentos de la mecánica cuántica . ^{[ 5 ] [ 6 ]} En particular, el teorema de Solèr ayuda a llenar un vacío en el esfuerzo por utilizar el teorema de Gleason para rederivar la mecánica cuántica a partir de postulados de la teoría de la información . ^{[ 7 ] [ 8 ]} También es un paso importante en la axiomatización de Heunen-Kornell de la categoría de espacios de Hilbert. ^{[ 9 ]}

El físico John C. Baez señala:

En ninguna de las suposiciones se menciona el continuo: las hipótesis son puramente algebraicas. Por lo tanto, parece bastante mágico que [el anillo de división sobre el cual se define el espacio de Hilbert] se vea obligado a ser los números reales, los números complejos o los cuaterniones. ^{[ 6 ]}

Escribiendo una década después de la publicación original de Solèr, Pitowsky califica su teorema de "célebre". ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle \mathbb {K} }$sea ​​un anillo de división . Eso significa que es un anillo en el que se puede sumar, restar, multiplicar y dividir, pero en el que la multiplicación no tiene por qué ser conmutativa . Supongamos que este anillo tiene una conjugación, es decir, una operación${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$para qué

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*},\\&(xy)^{*}=y^{*}x^{*}{\text{ (el orden de la multiplicación está invertido), y }}\\&(x^{*})^{*}=x.\end{aligned}}}$

Consideremos un espacio vectorial V con escalares en${\displaystyle \mathbb {K} }$y un mapeo

${\displaystyle (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle \in \mathbb {K} }$

que es ${\displaystyle \mathbb {K} }$-lineal en la entrada izquierda (o derecha), que satisface la identidad

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle ^{*}.}$

Esto se denomina forma hermitiana. Supongamos que esta forma no es degenerada en el sentido de que

${\displaystyle \langle u,v\rangle =0{\text{ para todos los valores de }}u{\text{ solo si }}v=0.}$

Para cualquier subespacio S sea${\displaystyle S^{\bot }}$Sea el complemento ortogonal de S. Llamemos al subespacio "cerrado" si ${\displaystyle S^{\bot \bot }=S.}$

Llamaremos a todo este espacio vectorial, y a la forma hermitiana, "ortomodular" si para cada subespacio cerrado S tenemos que${\displaystyle S+S^{\bot }}$es todo el espacio. (El término "ortomodular" deriva del estudio de la lógica cuántica. En la lógica cuántica, se considera que la ley distributiva falla debido al principio de incertidumbre , y se reemplaza por la "ley modular", o en el caso de espacios de Hilbert de dimensión infinita, la "ley ortomodular". ^{[ 6 ]} )

Un conjunto de vectores${\textstyle u_{i}\in V}$se llama "ortonormal" si$${\displaystyle \langle u_ {i},u_ {j}\rangle =\delta _ {ij}.}$$El resultado es este:

Si este espacio tiene un conjunto ortonormal infinito, entonces el anillo de división de escalares es o bien el cuerpo de los números reales, o bien el cuerpo de los números complejos, o bien el anillo de los cuaterniones .