Solenoide

Un solenoide infinito tiene longitud infinita pero diámetro finito. "Continuo" significa que el solenoide no está formado por espiras discretas de ancho finito, sino por muchas espiras infinitamente delgadas sin espacio entre ellas; en esta abstracción, el solenoide se suele considerar como una lámina cilíndrica de material conductor.

El campo magnético dentro de un solenoide infinitamente largo es homogéneo y su intensidad no depende ni de la distancia al eje ni del área de la sección transversal del solenoide.

Esta es una derivación de la densidad de flujo magnético alrededor de un solenoide lo suficientemente largo como para que se puedan ignorar los efectos de borde. En la Figura 1, sabemos inmediatamente que el vector de densidad de flujo apunta en la dirección positiva del eje z dentro del solenoide y en la dirección negativa del eje z fuera del solenoide. Confirmamos esto aplicando la regla de la mano derecha para el campo alrededor de un cable. Si envolvemos un cable con la mano derecha, con el pulgar apuntando en la dirección de la corriente, la curvatura de los dedos muestra cómo se comporta el campo. Dado que se trata de un solenoide largo, todos los componentes del campo magnético que no apuntan hacia arriba se cancelan por simetría. Fuera del solenoide, ocurre una cancelación similar y el campo apunta únicamente hacia abajo.

Consideremos ahora la espira imaginaria c situada dentro del solenoide. Según la ley de Ampère , sabemos que la integral de línea de B (el vector de densidad de flujo magnético) alrededor de esta espira es cero, puesto que no encierra corrientes eléctricas (también se puede suponer que el campo eléctrico del circuito que la atraviesa es constante en tales condiciones: una corriente constante o que varía constantemente a través del solenoide). Hemos demostrado anteriormente que el campo apunta hacia arriba dentro del solenoide, por lo que las porciones horizontales de la espira c no contribuyen a la integral. Así pues, la integral del lado superior 1 es igual a la integral del lado inferior 2. Dado que podemos cambiar arbitrariamente las dimensiones de la espira y obtener el mismo resultado, la única explicación física es que los integrandos son realmente iguales, es decir, el campo magnético dentro del solenoide es radialmente uniforme. Sin embargo, cabe señalar que nada impide que varíe longitudinalmente, lo cual, de hecho, ocurre.

Un argumento similar puede aplicarse al bucle a para concluir que el campo fuera del solenoide es radialmente uniforme o constante. Este último resultado, que es estrictamente cierto solo cerca del centro del solenoide donde las líneas de campo son paralelas a su longitud, es importante ya que muestra que la densidad de flujo fuera es prácticamente cero, puesto que los radios del campo fuera del solenoide tenderán al infinito. También se puede usar un argumento intuitivo para demostrar que la densidad de flujo fuera del solenoide es realmente cero. Las líneas de campo magnético solo existen como bucles; no pueden divergir ni converger en un punto como las líneas de campo eléctrico (véase la ley de Gauss para el magnetismo ). Las líneas de campo magnético siguen la trayectoria longitudinal del solenoide en el interior, por lo que deben ir en la dirección opuesta fuera del solenoide para que las líneas puedan formar bucles. Sin embargo, el volumen fuera del solenoide es mucho mayor que el volumen dentro, por lo que la densidad de líneas de campo magnético fuera se reduce considerablemente. Ahora recordemos que el campo fuera es constante. Para que se conserve el número total de líneas de campo, el campo fuera debe tender a cero a medida que el solenoide se alarga. Por supuesto, si el solenoide está construido como una espiral de alambre (como se suele hacer en la práctica), entonces emite un campo externo de la misma manera que un solo alambre, debido a la corriente que fluye a lo largo de todo el solenoide.

Aplicando la ley circuital de Ampère al solenoide (ver figura de la derecha) obtenemos

${\displaystyle Bl=\mu _ {0}NI,}$

dónde${\displaystyle B}$es la densidad de flujo magnético ,${\displaystyle l}$es la longitud del solenoide,${\displaystyle \mu _{0}}$es la constante magnética ,${\displaystyle N}$el número de turnos y${\displaystyle I}$la corriente. De esto obtenemos

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}.}$

Esta ecuación es válida para un solenoide en el espacio libre, lo que significa que la permeabilidad del camino magnético es la misma que la permeabilidad del espacio libre, μ ₀ .

Si el solenoide se sumerge en un material con permeabilidad relativa μ _r , entonces el campo aumenta en esa cantidad:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}.}$

En la mayoría de los solenoides, el solenoide no está sumergido en un material de mayor permeabilidad, sino que una parte del espacio que lo rodea tiene el material de mayor permeabilidad y otra parte es simplemente aire (que se comporta de forma muy similar al espacio libre). En ese caso, no se observa el efecto completo del material de alta permeabilidad, pero habrá una permeabilidad efectiva (o aparente) μ _eff tal que 1  ≤ μ _eff ≤ μ _r .   

La inclusión de un núcleo ferromagnético , como el hierro , aumenta la magnitud de la densidad de flujo magnético en el solenoide y eleva la permeabilidad efectiva del camino magnético. Esto se expresa mediante la fórmula

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}},}$

donde μeff es la permeabilidad efectiva o aparente del núcleo. La permeabilidad efectiva depende de las propiedades geométricas del núcleo y de su permeabilidad relativa. Los términos permeabilidad relativa (propiedad del material) y permeabilidad efectiva (propiedad de la estructura completa) suelen confundirse, _ya que pueden diferir en varios órdenes de magnitud. Además, los núcleos ferromagnéticos están sujetos a saturación magnética; una vez que el material del núcleo está completamente magnetizado, un aumento adicional de la corriente no producirá un incremento proporcional del flujo magnético.

Para una estructura magnética abierta , la relación entre la permeabilidad efectiva y la permeabilidad relativa se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}},}$

donde k es el factor de desmagnetización del núcleo. ^{[ 4 ]}

Un solenoide finito es un solenoide de longitud finita. Continuo significa que el solenoide no está formado por bobinas discretas, sino por una lámina de material conductor. Suponemos que la corriente se distribuye uniformemente en la superficie del solenoide, con una densidad de corriente superficial K ; en coordenadas cilíndricas : $${\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}.}$$

El campo magnético se puede encontrar utilizando el potencial vectorial , que para un solenoide finito con radio R y longitud l en coordenadas cilíndricas${\displaystyle (\rho,\phi,z)}$es ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{\pi }}{\frac {R}{l}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\left.{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\right|_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$

Dónde:

• ${\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}}$,
• ${\displaystyle n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}}$,
• ${\displaystyle m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}$,
• ${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$,
• ${\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$,
• ${\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}}$.

Aquí,${\displaystyle K(m)}$,${\displaystyle E(m)}$, y${\displaystyle \Pi (n,m)}$son integrales elípticas completas de primera, segunda y tercera especie.

Usando:

$${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$$

La densidad de flujo magnético se obtiene como ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l\,\rho }}{\Bigl [}(m{-}2)K(m)+2E(m){\Bigr ]}\left.{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}\right|_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},}$$$${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\left.{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\right|_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.}$$

En el eje de simetría, la componente radial se anula y la componente axial del campo es $${\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {z+l/2}{l{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}}-{\frac {zl/2}{l{\sqrt {R^{2}+(zl/2)^{2}}}}}\right).}$$ Dentro del solenoide, lejos de los extremos (${\displaystyle l/2-|z|\gg R}$), esto tiende hacia el valor constante${\displaystyle B=\mu _{0}NI/l}$.

En el caso en que el radio es mucho mayor que la longitud del solenoide (${\displaystyle R\gg l}$), la densidad de flujo magnético a través del centro del solenoide (en la dirección z , paralela a la longitud del solenoide, donde la bobina está centrada en z =0) se puede estimar como la densidad de flujo de una sola espira conductora circular:

${\displaystyle B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Dentro de la categoría de solenoides finitos, existen aquellos que están escasamente enrollados con un paso único, aquellos que están escasamente enrollados con pasos variables (solenoide de paso variable) y aquellos con radios variables para diferentes bucles (solenoides no cilíndricos). Se les denomina solenoides irregulares . Han encontrado aplicaciones en diferentes áreas, como solenoides escasamente enrollados para transferencia de energía inalámbrica , ^{[ 10 ] [ 11 ]} solenoides de paso variable para imágenes por resonancia magnética (IRM), ^{[ 12 ]} y solenoides no cilíndricos para otros dispositivos médicos. ^{[ 13 ]}

El cálculo de la inductancia y capacitancia intrínsecas no puede realizarse utilizando los métodos para solenoides convencionales, es decir, los de bobinado apretado. Se propusieron nuevos métodos de cálculo para la inductancia intrínseca ^{[ 14 ]} (códigos disponibles en ^{[ 15 ]} ) y la capacitancia ^{[ 16 ]} (códigos disponibles en ^{[ 17 ]} ).

Como se muestra arriba, la densidad de flujo magnético${\displaystyle B}$dentro de la bobina es prácticamente constante y viene dado por

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}},}$

donde μ ₀ es la constante magnética ,${\displaystyle N}$el número de turnos,${\displaystyle I}$la corriente y${\displaystyle l}$la longitud de la bobina. Ignorando los efectos de los extremos, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo.${\displaystyle B}$por el área de la sección transversal${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.}$

Combinando esto con la definición de inductancia

${\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}},}$

La inductancia de un solenoide se describe a continuación:

${\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.}$

Dellinger, Whittmore y Ould calcularon una tabla de inductancia para solenoides cortos de diversas relaciones diámetro-longitud. ^{[ 18 ]}

Esto, y la inductancia de formas más complejas, se pueden derivar de las ecuaciones de Maxwell . Para bobinas rígidas con núcleo de aire, la inductancia es función de la geometría de la bobina y del número de espiras, y es independiente de la corriente.

Un análisis similar se aplica a un solenoide con núcleo magnético , pero solo si la longitud de la bobina es mucho mayor que el producto de la permeabilidad relativa del núcleo magnético y el diámetro. Esto limita el análisis simple a núcleos _{de baja permeabilidad o solenoides extremadamente largos y} delgados. La presencia de un núcleo se puede tener en cuenta en las ecuaciones anteriores reemplazando la constante magnética μ₀ por μ o μ₀ _μr , donde μ representa la permeabilidad y μr _la permeabilidad relativa . Nótese que, dado que la permeabilidad de los materiales ferromagnéticos cambia con el flujo magnético aplicado, la inductancia de una bobina con núcleo ferromagnético generalmente variará con la corriente.