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Modelo Soler

El modelo de Soler es un modelo de teoría cuántica de campos de fermiones de Dirac que interactúan a través de interacciones de cuatro fermiones en 3 dimensiones espaciales y 1 ...

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El modelo de Soler es un modelo de teoría cuántica de campos de fermiones de Dirac que interactúan a través de interacciones de cuatro fermiones en 3 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal. Fue introducido en 1938 por Dmitri Ivanenko [ 1 ] y reintroducido e investigado en 1970 por Mario Soler [ 2 ] como un modelo de juguete de electrones autointeractuantes .

Este modelo se describe mediante la densidad lagrangiana.

L=ψ¯(i∂/−metro)ψ+gramo2(ψ¯ψ)2{\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2}}

dóndegramo{\displaystyle g}es la constante de acoplamiento , ∂/=∑μ=03γμ∂∂incógnitaμ{\displaystyle \partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}en las notaciones de barra de Feynman ,ψ¯=ψ∗γ0{\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}}. Aquíγμ{\displaystyle \gamma ^{\mu }},0≤μ≤3{\displaystyle 0\leq \mu \leq 3}, son matrices gamma de Dirac .

La ecuación correspondiente se puede escribir como

i∂∂tψ=−i∑j=13αj∂∂incógnitajψ+metroβψ−gramo(ψ¯ψ)βψ{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\sum _{j=1}^{3}\alpha ^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\psi +m\beta \psi -g({\overline {\psi }}\psi )\beta \psi },

dóndeαj{\displaystyle \alpha ^{j}},1≤j≤3{\displaystyle 1\leq j\leq 3}, yβ{\displaystyle \beta }son las matrices de Dirac . En una dimensión, este modelo se conoce como el modelo masivo de Gross-Neveu . [ 3 ] [ 4 ]

Generalizaciones

Una generalización comúnmente considerada es

L=ψ¯(i∂/−metro)ψ+gramo(ψ¯ψ)k+1k+1{\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +g{\frac {\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{k+1}}{k+1}}}

conk>0{\displaystyle k>0}, o incluso

L=ψ¯(i∂/−metro)ψ+F(ψ¯ψ){\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +F\left({\overline {\psi }}\psi \right)},

dóndeF{\displaystyle F}es una función suave.

Características

Simetría interna

Además de la simetría unitaria U(1) , en las dimensiones 1, 2 y 3 la ecuación tiene simetría interna global SU(1,1) . [ 5 ]

Renormalizabilidad

El modelo de Soler es renormalizable mediante el conteo de potencias parak=1{\displaystyle k=1}y en una sola dimensión, y no renormalizable para valores más altos dek{\displaystyle k}y en dimensiones superiores.

Soluciones de onda solitaria

El modelo de Soler admite soluciones de onda solitaria de la forma ϕ(incógnita)mi−iωt,{\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t},} dóndeϕ{\displaystyle \phi }está localizado (se vuelve pequeño cuandoincógnita{\displaystyle x}es grande) yω{\displaystyle \omega }es un número real . [ 6 ]

Reducción al modelo masivo de Thirring

En la dimensión espacial 2, el modelo de Soler coincide con el modelo masivo de Thirring, debido a la relación (ψ¯ψ)2=JμJμ{\displaystyle ({\bar {\psi }}\psi )^{2}=J_{\mu }J^{\mu }}, con ψ¯ψ=ψ∗σ3ψ{\displaystyle {\bar {\psi }}\psi =\psi ^{*}\sigma _{3}\psi } el escalar relativista y Jμ=(ψ∗ψ,ψ∗σ1ψ,ψ∗σ2ψ){\displaystyle J^{\mu }=(\psi ^{*}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{1}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )} la densidad de corriente de carga. La relación se deduce de la identidad (ψ∗σ1ψ)2+(ψ∗σ2ψ)2+(ψ∗σ3ψ)2=(ψ∗ψ)2{\displaystyle (\psi ^{*}\sigma _{1}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{3}\psi )^{2}=(\psi ^{*}\psi )^{2}}, para cualquierψ∈do2{\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}. [ 7 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Dmitri Ivanenko (1938). "Notas a la teoría de la interacción a través de partículas" (PDF) . Zh. Eksp. Teor. Fiz . 8 : 260–266 .
  2. ↑ Mario Soler (1970). "Campo espinorial clásico, estable y no lineal con energía de reposo positiva" . Phys. Rev. D. 1 ( 10): 2766– 2769. Bibcode : 1970PhRvD...1.2766S . doi : 10.1103/PhysRevD.1.2766 .
  3. ↑ Gross, David J. y Neveu, André (1974). "Ruptura dinámica de simetría en teorías de campo asintóticamente libres". Phys. Rev. D . 10 (10): 3235– 3253. Bibcode : 1974PhRvD..10.3235G . doi : 10.1103/PhysRevD.10.3235 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ↑ SY Lee y A. Gavrielides (1975). "Cuantización de las soluciones localizadas en teorías de campo bidimensionales de fermiones masivos" . Phys. Rev. D. 12 ( 12): 3880–3886 . Bibcode : 1975PhRvD..12.3880L . doi : 10.1103/PhysRevD.12.3880 .
  5. ↑ Galindo, A. (1977). "Una invariancia notable de los lagrangianos de Dirac clásicos". Lettere al Nuovo Cimento . 20 (6): 210– 212. doi : 10.1007/BF02785129 . S2CID 121750127 . 
  6. ↑ Thierry Cazenave y Luis Vázquez (1986). "Existencia de soluciones localizadas para un campo de Dirac no lineal clásico" . Comm. Math. Phys . 105 (1): 35– 47. Bibcode : 1986CMaPh.105...35C . doi : 10.1007/BF01212340 . S2CID 121018463 . 
  7. ↑ J. Cuevas-Maraver; PG Kevrekidis; A. Saxena; A. Comech y R. Lan (2016). "Estabilidad de ondas solitarias y vórtices en un modelo de Dirac no lineal 2D". Phys . Rev. Lett . 116 (21) 214101. arXiv : 1512.03973 . Bibcode : 2016PhRvL.116u4101C . doi : 10.1103/PhysRevLett.116.214101 . PMID 27284659. S2CID 15719805 .