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Articulo de referencia

Ángulo sólido

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En geometría , un ángulo sólido (símbolo: Ω ) es una medida de la porción del campo de visión que abarca un objeto desde un punto determinado. Es decir, es una medida del tamaño aparente del objeto para un observador que lo mira desde ese punto. El punto desde el cual se observa el objeto se denomina vértice del ángulo sólido, y se dice que el objeto subtiende su ángulo sólido en ese punto.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), un ángulo sólido se expresa en una unidad adimensional llamada estereorradián (símbolo: sr), que es igual a un radián cuadrado , sr = rad² . Un estereorradián corresponde a una unidad de área (de cualquier forma) en la esfera unitaria que rodea el vértice, por lo que un objeto que bloquea todos los rayos del vértice cubriría un número de estereorradianes igual al área total de la superficie de la esfera unitaria.4π{\displaystyle 4\pi }Los ángulos sólidos también se pueden medir en cuadrados de medidas angulares como grados , minutos y segundos.

Un objeto pequeño cercano puede abarcar el mismo ángulo sólido que un objeto más grande y lejano. Por ejemplo, aunque la Luna es mucho más pequeña que el Sol , también está mucho más cerca de la Tierra . De hecho, vistos desde cualquier punto de la Tierra, ambos objetos tienen aproximadamente el mismo ángulo sólido (y, por lo tanto, el mismo tamaño aparente). Esto se hace evidente durante un eclipse solar .

Definición y propiedades

La magnitud del ángulo sólido de un objeto en estereorradianes es igual al área del segmento de una esfera unitaria , centrado en el vértice, que cubre el objeto. Dar el área de un segmento de una esfera unitaria en estereorradianes es análogo a dar la longitud de un arco de un círculo unitario en radianes. Así como la magnitud de un ángulo plano en radianes en el vértice de un sector circular es la razón entre la longitud de su arco y su radio, la magnitud de un ángulo sólido en estereorradianes es la razón entre el área cubierta en una esfera por un objeto y el cuadrado del radio de la esfera. La fórmula para la magnitud del ángulo sólido en estereorradianes es:

Ω=Ar2,{\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}

dóndeA{\displaystyle A}es el área (de cualquier forma) en la superficie de la esfera yr{\displaystyle r}es el radio de la esfera.

Los ángulos sólidos se utilizan con frecuencia en astronomía , física y, en particular, en astrofísica . El ángulo sólido de un objeto muy lejano es aproximadamente proporcional a la relación entre su área y la distancia al cuadrado. Aquí, "área" se refiere al área del objeto proyectada en la dirección de observación.

Cualquier área en una esfera que sea igual al cuadrado de su radio, vista desde su centro, subtiende exactamente un estereorradián .

El ángulo sólido de una esfera medido desde cualquier punto de su interior es 4πsr .  El ángulo sólido subtendido en el centro de un cubo por una de sus caras es un sexto de ese, o 2π / 3sr  .El ángulo sólido subtendido en la esquina de un cubo (un octante ) o abarcado por un octante esférico es π /2  sr, un octavo del ángulo sólido de una esfera.

Los ángulos sólidos también se pueden medir en grados cuadrados (1  sr = ( 180/ π ) ² grados cuadrados), en minutos de arco cuadrados y segundos de arco cuadrados . [ a ] También se pueden expresar en fracciones de la esfera (1  sr = 1 / 4π área fraccional ), también conocidas como spat (1  sp = 4π sr  ).

En coordenadas esféricas hay una fórmula para el diferencial ,

dΩ=pecado⁡θdθdφ,{\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi,}

donde θ es la colatitud (ángulo desde el Polo Norte) y φ es la longitud.

El ángulo sólido para una superficie S orientada arbitrariamente subtendida en un punto P es igual al ángulo sólido de la proyección de la superficie S sobre la esfera unitaria con centro P , que se puede calcular como la integral de superficie :

Ω=∬Sr^⋅norte^r2dS =∬Specado⁡θdθdφ,{\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}

dónder^=r→/r{\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}es el vector unitario correspondiente ar→{\displaystyle {\vec {r}}}, el vector de posición de un área infinitesimal de la superficie dS con respecto al punto P , y dondenorte^{\displaystyle {\hat {n}}}representa el vector normal unitario a dS . Aunque la proyección sobre la esfera unitaria a la superficie S no sea isomorfa , los múltiples pliegues se consideran correctamente según la orientación de la superficie descrita por el signo del producto escalar.r^⋅norte^{\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}.

De este modo, se puede aproximar el ángulo sólido subtendido por una pequeña faceta con área de superficie plana dS , orientaciónnorte^{\displaystyle {\hat {n}}}y la distancia r desde el observador como:

dΩ=4π(dSA)(r^⋅norte^),{\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}

donde el área de la superficie de una esfera es A = 4 π r 2 .

Aplicaciones prácticas

Ángulos sólidos para objetos comunes

Cono, casquete esférico, hemisferio

Diagrama que muestra una sección transversal a través del centro de un cono (1) que subtiende un ángulo sólido de 1 estereorradián en una esfera de radio r , junto con la "casquillo" esférica (2). El área de la superficie externa A del casquete es igual ar2{\displaystyle r^{2}}solo si el ángulo sólido del cono es exactamente 1 estereorradián. Por lo tanto, en esta figura θ = A /2 y r = 1 .

El ángulo sólido de un cono con su vértice en el vértice del ángulo sólido, y con un ángulo de vértice de 2θ , es el área de una calota esférica sobre una esfera unitaria.

Ω=2π(1−porque⁡θ) =4πpecado2⁡θ2.{\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}

Para valores pequeños de θ , tales que cos θ ≈ 1 − ⁠ θ 2 / 2 ⁠ , esto se reduce a Ω = π θ 2 .

Lo anterior se obtiene calculando la siguiente integral doble utilizando el elemento de superficie unitario en coordenadas esféricas :

∫02π∫0θpecado⁡θ′dθ′dϕ=∫02πdϕ∫0θpecado⁡θ′dθ′=2π∫0θpecado⁡θ′dθ′=2π[−porque⁡θ′]0θ=2π(1−porque⁡θ).{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}

Esta fórmula también se puede derivar sin utilizar cálculo .

Hace más de 2200 años, Arquímedes demostró que el área de la superficie de una calota esférica es siempre igual al área de un círculo cuyo radio es igual a la distancia desde el borde de la calota esférica hasta el punto donde el eje de simetría de la calota la interseca. [ 2 ]

El teorema de Arquímedes establece que el área de la superficie de la región de la esfera debajo del plano horizontal H en el diagrama dado es igual al área de un círculo de radio t.

En el diagrama coloreado anterior, este radio se da como

2rpecado⁡θ2.{\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.} En el diagrama en blanco y negro adjunto, este radio se representa como "t".

Por lo tanto, para una esfera unitaria, el ángulo sólido de la calota esférica viene dado por:

Ω=4πpecado2⁡θ2=2π(1−porque⁡θ).{\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}

Cuando θ = ⁠ π / 2 ⁠ , la calota esférica se convierte en un hemisferio con un ángulo sólido de 2 π .

El ángulo sólido del complemento del cono es

4π−Ω=2π(1+porque⁡θ)=4πporque2⁡θ2.{\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}

Este es también el ángulo sólido de la parte de la esfera celeste que un observador astronómico situado en la latitud θ puede ver mientras la Tierra rota. En el ecuador, toda la esfera celeste es visible; en cualquiera de los polos, solo la mitad.

El ángulo sólido subtendido por un segmento de una calota esférica cortado por un plano con un ángulo γ respecto al eje del cono y que pasa por el vértice del cono se puede calcular mediante la fórmula [ 3 ].

Ω=2[arcos⁡(pecado⁡γpecado⁡θ)−porque⁡θarcos⁡(broncearse⁡γbroncearse⁡θ)].{\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}

Por ejemplo, si γ = − θ , entonces la fórmula se reduce a la fórmula de casquete esférico anterior: el primer término se convierte en π y el segundo en π cos θ .

Tetraedro

Sea OABC el conjunto de vértices de un tetraedro con origen en O subtendido por la cara triangular ABC, dondea→ ,b→ ,do→{\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}son las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C. Definimos el ángulo del vértice θ a como el ángulo BOC y definimos θ b , θ c correspondientemente. Seaϕab{\displaystyle \phi _{ab}}sea ​​el ángulo diedro entre los planos que contienen las caras tetraédricas OAC y OBC y definaϕado{\displaystyle \phi _{ac}},ϕbdo{\displaystyle \phi _{bc}}En consecuencia, el ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC viene dado por

Ω=(ϕab+ϕbdo+ϕado) −π.{\displaystyle \Omega =\left(\phi _ {ab}+\phi _ {bc}+\phi _ {ac}\right)\ -\pi .}

Esto se desprende de la teoría del exceso esférico y conduce al hecho de que existe un teorema análogo al teorema que dice que "La suma de los ángulos internos de un triángulo plano es igual a π " , para la suma de los cuatro ángulos sólidos internos de un tetraedro como sigue:

∑i=14Ωi=2∑i=16ϕi −4π,{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}

dóndeϕi{\displaystyle \phi _{i}}abarca los seis ángulos diedros entre cualesquiera dos planos que contienen las caras tetraédricas OAB, OAC, OBC y ABC. [ 4 ]

Una fórmula útil para calcular el ángulo sólido del tetraedro en el origen O que es puramente una función de los ángulos de los vértices θ a , θ b , θ c viene dada por el teorema de L'Huilier [ 5 ] [ 6 ] como

broncearse⁡(14Ω)=broncearse⁡(θs2)broncearse⁡(θs−θa2)broncearse⁡(θs−θb2)broncearse⁡(θs−θdo2),{\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}

dónde θs=θa+θb+θdo2.{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}

Otra fórmula interesante consiste en expresar los vértices como vectores en el espacio tridimensional. Seaa→ ,b→ ,do→{\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}Sean las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C, y sean a , b y c la magnitud de cada vector (la distancia al punto de origen). El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC es: [ 7 ] [ 8 ]

broncearse⁡(12Ω)=|a→ b→ do→|abdo+(a→⋅b→)do+(a→⋅do→)b+(b→⋅do→)a,{\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}

dónde |a→ b→ do→|=a→⋅(b→×do→){\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}

denota el producto triple escalar de los tres vectores ya→⋅b→{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}denota el producto escalar .

Aquí se debe tener cuidado para evitar ángulos sólidos negativos o incorrectos. Una fuente de errores potenciales es que el producto triple escalar puede ser negativo si a , b , c tienen el enrollamiento incorrecto . Calcular el valor absoluto es una solución suficiente ya que ninguna otra parte de la ecuación depende del enrollamiento. El otro problema surge cuando el producto triple escalar es positivo pero el divisor es negativo. En este caso, devuelve un valor negativo que debe incrementarse en π .

Pirámide

El ángulo sólido de una pirámide rectangular recta de cuatro lados con ángulos de vértice a y b ( ángulos diedros medidos entre las caras laterales opuestas de la pirámide) es Ω=4arcoseno⁡(pecado⁡(a2)pecado⁡(b2)).{\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}

Si se conocen tanto las longitudes de los lados ( α y β ) de la base de la pirámide como la distancia ( d ) desde el centro del rectángulo de la base hasta el vértice de la pirámide (el centro de la esfera), entonces la ecuación anterior se puede manipular para obtener

Ω=4arctan⁡αβ2d4d2+α2+β2.{\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}

El ángulo sólido de una pirámide n- gonal recta, cuya base es un polígono regular de n lados con radio de la circunferencia circunscrita r y una altura h es

Ω=2π−2nortearctan⁡(broncearse⁡(πnorte)1+r2h2).{\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}

El ángulo sólido de una pirámide arbitraria con una base de n lados definida por la secuencia de vectores unitarios que representan aristas { s 1 , s 2 }, ... s n se puede calcular eficientemente mediante: [ 3 ]

Ω=2π−arg⁡∏j=1norte((sj−1sj)(sjsj+1)−(sj−1sj+1)+i[sj−1sjsj+1]).{\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}

donde los paréntesis (* *) representan un producto escalar y los corchetes [* * *] representan un producto triple escalar , e i es una unidad imaginaria . Los índices se repiten cíclicamente: s 0 = s n y s 1 = s n + 1. Los productos complejos suman la fase asociada a cada ángulo del vértice del polígono. Sin embargo, un múltiplo de 2π{\displaystyle 2\pi }se pierde en el corte de la rama dearg{\displaystyle \arg }y deben ser monitoreadas por separado. Además, el producto acumulado de fases complejas debe escalarse ocasionalmente para evitar el desbordamiento negativo en el límite de segmentos casi paralelos.

Rectángulo de latitud-longitud

El ángulo sólido de un rectángulo de latitud-longitud en un globo terráqueo es (pecado⁡ϕnorte−pecado⁡ϕS)(θmi−θW)sr,{\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,} donde φ N y φ S son las líneas de latitud norte y sur (medidas desde el ecuador en radianes con un ángulo que aumenta hacia el norte), y θ E y θ W son las líneas de longitud este y oeste (donde el ángulo en radianes aumenta hacia el este). [ 9 ] Matemáticamente, esto representa un arco de ángulo ϕ N − ϕ S barrido alrededor de una esfera por θ E − θ W radianes. Cuando la longitud abarca 2 π radianes y la latitud abarca π radianes, el ángulo sólido es el de una esfera.

Un rectángulo de latitud y longitud no debe confundirse con el ángulo sólido de una pirámide rectangular. Los cuatro lados de una pirámide rectangular intersecan la superficie de la esfera mediante arcos de círculo máximo . En un rectángulo de latitud y longitud, solo los meridianos son arcos de círculo máximo; los meridianos no lo son.

objetos celestes

Utilizando la definición de diámetro angular , la fórmula para el ángulo sólido de un objeto celeste se puede definir en términos del radio del objeto,R{\textstyle R}y la distancia del observador al objeto,d{\displaystyle d}:

Ω=2π(1−d2−R2d):d≥R.{\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}

Al introducir los valores promedio apropiados para el Sol y la Luna (en relación con la Tierra), el ángulo sólido promedio del Sol es6,794 × 10 −5 estereorradianes y el ángulo sólido promedio de la Luna es6,418 × 10 −5 estereorradianes. En términos de la esfera celeste total, el Sol y la Luna subtienden áreas fraccionarias promedio de0,000 5406 % (5,406 ppm  ) y0,000 5107 % (5,107  ppm ), respectivamente. Como estos ángulos sólidos son aproximadamente del mismo tamaño, la Luna puede causar eclipses solares tanto totales como anulares, dependiendo de la distancia entre la Tierra y la Luna durante el eclipse.

Ángulos sólidos en dimensiones arbitrarias

El ángulo sólido subtendido por la superficie esférica completa de ( d − 1 ) dimensiones de la esfera unitaria en el espacio euclidiano de d dimensiones se puede definir en cualquier número de dimensiones d . A menudo se necesita este factor de ángulo sólido en cálculos con simetría esférica. Viene dado por la fórmula Ωd=2πd2Γ(d2),{\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},} donde Γ es la función gamma . Cuando d es un número entero, la función gamma se puede calcular explícitamente. [ 10 ] De ello se deduce que Ωd={1(d2−1)¡2πd2 d incluso(12(d−1))¡(d−1)¡2dπ12(d−1) d extraño.{\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}

Esto da los resultados esperados de 4π estereorradianes para la esfera 3D delimitada por una superficie de área 4πr² y 2π radianes para el círculo 2D delimitado por una circunferencia de longitud 2πr . También da el valor ligeramente menos obvio de 2 para el caso 1D, en el que la "esfera " 1D centrada en el origen es el intervalo [ −r , r ] y este está delimitado por dos puntos límite.

La contraparte de la fórmula vectorial en dimensión arbitraria fue derivada por Aomoto [ 11 ] [ 12 ] e independientemente por Ribando. [ 13 ] Las expresa como una serie de Taylor multivariada infinita : Ω=Ωd|det(V)|(4π)d/2∑a→∈norte0(d2)[(−2)∑i<jaij∏i<jaij¡∏iΓ(1+∑metro≠iaimetro2)]α→a→.{\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.} Dados d vectores unitariosv→i{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}definiendo el ángulo, sea V la matriz formada al combinarlos de modo que la i- ésima columna seav→i{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}, yαij=v→i⋅v→j=αji,αii=1{\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}. Las variablesαij,1≤i<j≤d{\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}formar un multivariableα→=(α12,…,α1d,α23,…,αd−1,d)∈R(d2){\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}. Para un multiexponente entero "congruente"a→=(a12,…,a1d,a23,…,ad−1,d)∈norte0(d2),{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}definirα→a→=∏αijaij{\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}. Tenga en cuenta que aquínorte0{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}= enteros no negativos, o números naturales que comienzan con 0. La notaciónαji{\displaystyle \alpha _{ji}}paraj>i{\displaystyle j>i}significa la variableαij{\displaystyle \alpha _{ij}}, de forma similar para los exponentesaji{\displaystyle a_{ji}}. Por lo tanto, el término∑metro≠lalmetro{\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}significa la suma sobre todos los términos ena→{\displaystyle {\vec {a}}}en la que l aparece como primer o segundo índice. Donde esta serie converge, converge al ángulo sólido definido por los vectores.

Notas

  1. ↑ La esfera completa contiene aproximadamente 148,510 millones de minutos de arco cuadrados y aproximadamente 534,638 mil millones de segundos de arco cuadrados.

Referencias

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  2. ↑ "Arquímedes sobre esferas y cilindros" . Páginas de Matemáticas . 2015.
  3. 1 2 Mazonka, Oleg (2012). "Ángulo sólido de superficies cónicas, conos poliédricos y casquetes esféricos que se intersecan". arXiv : 1205.1396 [ math.MG ].
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Lecturas adicionales

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