Partición sólida

En matemáticas, las particiones sólidas son generalizaciones naturales de las particiones enteras y las particiones planas definidas por Percy Alexander MacMahon . ^[1] Una partición sólida de es una matriz tridimensional de números enteros no negativos (con índices ) tales que ${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n_{i,j,k}}$${\displaystyle i,j,k\geq 1}$

${\displaystyle \suma _{i,j,k}n_{i,j,k}=n}$

y

${\displaystyle n_{i+1,j,k}\leq n_{i,j,k},\quad n_{i,j+1,k}\leq n_{i,j,k}\quad {\text{y}}\quad n_{i,j,k+1}\leq n_{i,j,k}}$a pesar de${\displaystyle i,j{\text{ y }}k.}$

Sea α el número de particiones sólidas de . Como la definición de particiones sólidas implica matrices tridimensionales de números, también se las llama particiones tridimensionales en la notación, donde las particiones planas son particiones bidimensionales y las particiones son particiones unidimensionales. Las particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores se analizan en el libro de Andrews . ^[2]$estilo de visualización p_{3}(n)}$${\estilo de visualización n}$

Otra representación de particiones sólidas es en forma de diagramas de Ferrers . El diagrama de Ferrers de una partición sólida de es una colección de puntos o nodos , , con que satisface la condición: ^[3]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \lambda =(\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\ldots ,\mathbf {y} _{n})}$${\displaystyle \mathbf {y} _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{4}}$

Condición FD: Si el nodo , entonces también lo hacen todos los nodos con para todos los .${\displaystyle \mathbf {a} = (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})\in \lambda }$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$${\displaystyle 0\leq y_{i}\leq a_{i}}$${\displaystyle i=1,2,3,4}$

Por ejemplo, el diagrama de Ferrers

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0\\0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\1\\0\\0\end{smallmatrix}}\right)\ ,}$

donde cada columna es un nodo, representa una partición sólida de . Existe una acción natural del grupo de permutación en un diagrama de Ferrers: esto corresponde a permutar las cuatro coordenadas de todos los nodos. Esto generaliza la operación denotada por conjugación en particiones habituales. ${\estilo de visualización 5}$$Estilo de visualización S_{4}$

Dado un diagrama de Ferrers, se construye la partición sólida (como en la definición principal) de la siguiente manera.

Sea el número de nodos en el diagrama de Ferrers con coordenadas de la forma donde denota un valor arbitrario. La colección forma una partición sólida. Se puede verificar que la condición FD implica que se satisfacen las condiciones para una partición sólida.${\displaystyle n_{i,j,k}}$${\displaystyle (i-1,j-1,k-1,*)}$${\estilo de visualización *}$${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Dado un conjunto de que forman una partición sólida, se obtiene el diagrama de Ferrers correspondiente como sigue. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Comience con el diagrama de Ferrers sin nodos. Para cada valor distinto de cero , agregue nodos para al diagrama de Ferrers. Por construcción, es fácil ver que se cumple la condición FD.${\displaystyle n_{i,j,k}}$${\displaystyle n_{i,j,k}}$${\displaystyle (i-1,j-1,k-1,y_{4})}$${\displaystyle 0\leq y_{4}<n_{i,j,k}}$

Por ejemplo, el diagrama de Ferrers con nodos dado anteriormente corresponde a la partición sólida con ${\estilo de visualización 5}$

${\ Displaystyle n_ {1,1,1} = n_ {2,1,1} = n_ {1,2,1} = n_ {1,1,2} = n_ {2,2,1} = 1}$

con todo lo demás desapareciendo. ${\displaystyle n_{i,j,k}}$

Sea . Definamos la función generadora de particiones sólidas, , por ${\displaystyle p_{3}(0)\equiv 1}$$Estilo de visualización P_{3}(q)}$

${\displaystyle P_{3}(q):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{3}(n)q^{n}=1+q+4q^{2}+10q^{3}+26q^{4}+59q^{5}+140q^{6}+\cdots .}$

Las funciones generadoras de particiones enteras y particiones planas tienen fórmulas de producto simples, debido a Euler y MacMahon , respectivamente. Sin embargo, una suposición de MacMahon no reproduce correctamente las particiones sólidas de 6. ^[3] Parece que no hay una fórmula simple para la función generadora de particiones sólidas; en particular, no puede haber ninguna fórmula análoga a las fórmulas de producto de Euler y MacMahon. ^[4]

Dada la falta de una función generadora explícitamente conocida, las enumeraciones de los números de particiones sólidas para números enteros mayores se han llevado a cabo numéricamente. Hay dos algoritmos que se utilizan para enumerar particiones sólidas y sus generalizaciones de dimensiones superiores. El trabajo de Atkin et al. utilizó un algoritmo debido a Bratley y McKay. ^[5] En 1970, Knuth propuso un algoritmo diferente para enumerar secuencias topológicas que utilizó para evaluar números de particiones sólidas de todos los números enteros . ^[6] Mustonen y Rajesh extendieron la enumeración para todos los números enteros . ^[7] En 2010, S. Balakrishnan propuso una versión paralela del algoritmo de Knuth que se ha utilizado para extender la enumeración a todos los números enteros . ^[8] Se encuentra ${\displaystyle n\leq 28}$${\displaystyle n\leq 50}$${\displaystyle n\leq 72}$

${\displaystyle p_{3}(72)=3464274974065172792\ ,}$

que es un número de 19 dígitos que ilustra la dificultad de realizar enumeraciones tan exactas.

Se conjetura que existe una constante tal que ^{[9] [7] [10]}${\estilo de visualización c}$

$${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} {\frac {\log p_{3}(n)}{n^{3/4}}}=c.}$$

• Secuencia OEIS A000293 (Particiones sólidas (es decir, tridimensionales))
• Proyecto de particiones sólidas del IIT Madrás
• La entrada de Mathworld para particiones sólidas