Pelota (matemáticas)

En matemáticas , una bola es la figura sólida delimitada por una esfera ; también se la llama esfera sólida . ^{[ 1 ]} Puede ser una bola cerrada (incluyendo los puntos límite que constituyen la esfera) o una bola abierta (excluyéndolos).

Estos conceptos se definen no solo en el espacio euclidiano tridimensional , sino también en dimensiones inferiores y superiores, y en espacios métricos en general. Una bola en $n$ dimensiones se denomina hiperbola o $n-$ bola y está delimitada por una hiperesfera o ( $n -1$ )-esfera . Así, por ejemplo, una bola en el plano euclidiano es lo mismo que un disco , la región plana delimitada por un círculo . En el espacio euclidiano tridimensional , una bola se considera la región del espacio delimitada por una esfera bidimensional . En un espacio unidimensional , una bola es un segmento de línea .

En otros contextos, como en la geometría euclidiana y el uso informal, esfera se usa a veces para referirse a una bola . En el campo de la topología , el círculo cerrado $n$ La bola dimensional se suele denotar como $B^{n}$ o $D^{n}$ mientras el abierto $n$ -la bola dimensional es $\operatorname {int} B^{n}$ o $\operatorname {int} D^{n}$ .

En el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano $n- dimensional, una$ $n$ -bola (abierta) de radio $r$ y centro $x$ es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a $x es menor que$ $r . Una$ $n$ -bola cerrada de radio $r$ es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a $x$ es menor o igual que $r$ .

En el espacio euclidiano $n-$ dimensional, cada bola está delimitada por una hiperesfera . La bola es un intervalo delimitado cuando $n = 1$ , es un disco delimitado por un círculo cuando $n = 2$ , y está delimitada por una esfera cuando $n = 3$ .

Volumen

El volumen $n -dimensional de una bola euclidiana de radio$ $r$ en un espacio euclidiano $n$ -dimensional viene dado por ^{[ 2 ].} $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}r^{n},$ donde $Γ$ es la función gamma de Leonhard Euler (que puede considerarse una extensión de la función factorial a argumentos fraccionarios). El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los enteros y semi-enteros proporciona fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren la evaluación de la función gamma. Estas son: ${\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

En la fórmula para volúmenes de dimensión impar, el factorial doble $(2 k + 1)!!$ se define para enteros impares $2 k + 1$ como $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

El área superficial de una n-bola (una (n-1)-esfera) es: $A_{n}(r)={\frac {dV_{n}}{dr}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}r^{n-1},$

En general, espacios métricos

Sea $(M, d)$ un espacio métrico , es decir, un conjunto $M$ con una métrica (función de distancia) $d$ , y sea ⁠ $r$ Sea un número real positivo. La bola abierta (métrica) de radio $r$ centrada en un punto $p$ en $M$ , usualmente denotada por $B r (p)$ o $B (p; r)$ , se define de la misma manera que una bola euclidiana, como el conjunto de puntos en $M$ a una distancia menor que $r$ de $p$ , $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$

La bola cerrada (métrica), a veces denotada $B r [p]$ o $B [p; r]$ , se define asimismo como el conjunto de puntos a una distancia menor o igual a $r$ de $p$ , $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

En particular, una bola (abierta o cerrada) siempre incluye $a p$ misma, ya que la definición requiere $r > 0.$ Una bola unitaria (abierta o cerrada) es una bola de radio 1.

En un espacio métrico general, una bola no tiene por qué ser redonda. Por ejemplo, una bola en el espacio de coordenadas reales, bajo la distancia de Chebyshev, es un hipercubo , y una bola bajo la distancia del taxi es un politopo cruzado . Una bola cerrada tampoco tiene por qué ser compacta . Por ejemplo, una bola cerrada en cualquier espacio vectorial normado de dimensión infinita nunca es compacta. Sin embargo, una bola en un espacio vectorial normado siempre será convexa como consecuencia de la desigualdad triangular.

Un subconjunto de un espacio métrico es acotado si está contenido en alguna bola. Un conjunto es totalmente acotado si, dado cualquier radio positivo, está cubierto por un número finito de bolas de ese radio.

Las bolas abiertas de un espacio métrico pueden servir como base , dando a este espacio una topología , cuyos conjuntos abiertos son todas las uniones posibles de bolas abiertas. Esta topología en un espacio métrico se llama topología inducida por la métrica $d$ .

Dejar ${\overline {B_{r}(p)}}$ denotan el cierre de la bola abierta $B_{r}(p)$ en esta topología. Si bien siempre es el caso que $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],$ No siempre es así. ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].$ Por ejemplo, en un espacio métrico $X$ con la métrica discreta , uno tiene ${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$ pero $B_{1}[p]=X$ para cualquier $p\in X.$

En espacios vectoriales normados

Cualquier espacio vectorial normado $V$ con norma $\|\cdot \|$ es también un espacio métrico con la métrica $d(x,y)=\|xy\|.$ En tales espacios, una bola arbitraria $B_{r}(y)$ de puntos $x$ alrededor de un punto $y$ con una distancia de menos de $r$ puede ser visto como una escala (por $r$ ) y traducido (por $y$ ) copia de una bola unitaria $B_{1}(0).$ Tales bolas "centradas" con $y=0$ se denotan con $B(r).$

Las bolas euclidianas que se mencionaron anteriormente son un ejemplo de bolas en un espacio vectorial normado.

norma $p$

En un espacio cartesiano $R n$ con la $norma$ $p L p$ , es decir , se elige algún $p\geq 1$ y define $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ Luego, una bola abierta alrededor del origen con radio $r$ está dado por el conjunto $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$ Para $n = 2$ , en un plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$ Las "bolas" según la norma $L1 (a menudo llamada métrica$ de taxi o de Manhattan ) están delimitadas por cuadrados con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas; las que siguen la $norma$ $L\infty$ , también llamada métrica de Chebyshev , tienen como límites cuadrados con lados paralelos a los ejes de coordenadas. La norma $L2$ , conocida como métrica euclidiana, genera los conocidos discos dentro de círculos, y para otros valores de $p$ , las bolas correspondientes son áreas delimitadas por curvas de Lamé $($ hipoelipses o hiperelipses).

Para $n = 3$ , las bolas $L 1$ están dentro de octaedros con diagonales del cuerpo alineadas con los ejes , las bolas $L \infty$ están dentro de cubos con aristas alineadas con los ejes , y los límites de las bolas para $L p$ con $p > 2$ son superelipsoides . $p = 2$ genera el interior de las esferas usuales.

A menudo también se puede considerar el caso de $p=\infty$ en cuyo caso definimos $\lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}$

norma convexa general

De forma más general, dado cualquier subconjunto $X$ de $R$ $n$ que sea centralmente simétrico , acotado , abierto y convexo , se puede definir una norma en $R$ $n$ $donde todas las bolas son copias de X$ trasladadas y escaladas uniformemente . Nótese que este teorema no se cumple si el subconjunto "abierto" se reemplaza por un subconjunto "cerrado", porque el punto de origen cumple la condición, pero no define una norma en $R$ $n$ .

En espacios topológicos

Se puede hablar de bolas en cualquier espacio topológico $X , no necesariamente inducido por una métrica. Una$ bola topológica $n$ -dimensional (abierta o cerrada) de $X$ es cualquier subconjunto de $X$ que es homeomorfo a una $n-$ bola euclidiana (abierta o cerrada). $Las n$ -bolas topológicas son importantes en la topología combinatoria , ya que constituyen los bloques de construcción de los complejos celulares .

$Cualquier n$ -bola topológica abierta es homeomorfa al espacio cartesiano $R n$ y al $n-$ cubo unitario abierto (hipercubo) $(0, 1) n \subseteq R n$ $. Cualquier n$ -bola topológica cerrada es homeomorfa al $n$ -cubo cerrado $[0, 1] n$ .

Una $n$ -bola es homeomorfa a una $m$ -bola si y solo si $n = m$ . Los homeomorfismos entre una $n$ -bola abierta $B$ y $R n$ se pueden clasificar en dos clases, que se pueden identificar con las dos posibles orientaciones topológicas de $B.$

$Una n$ -bola topológica no tiene por qué ser lisa ; si lo es, no tiene por qué ser difeomorfa a una $n-$ bola euclidiana.

Regiones

Se pueden definir varias regiones especiales para una pelota:

tapa , delimitada por un plano
sector , delimitado por un límite cónico con vértice en el centro de la esfera
segmento , delimitado por un par de planos paralelos
caparazón , delimitado por dos esferas concéntricas de radios diferentes
cuña , delimitada por dos planos que pasan por el centro de una esfera y la superficie de la esfera.

Véase también

Pelota – significado ordinario
Disco (matemáticas)
Bola formal , una extensión a radios negativos
Vecindario (matemáticas)
Esfera , una forma geométrica similar
3 esferas
$n$ -esfera o hiperesfera
Esfera con cuernos de Alejandro
Colector
Volumen de una $n$ -bola
Octaedro : una bola de 3 dimensiones en la métrica $l 1 .$

Referencias

↑ Sūgakkai, Nihon (1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas . MIT Press . ISBN 9780262590204.
↑ Ecuación 5.19.4, Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST .Versión 1.0.6 del 6 de mayo de 2013.

Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "¿Qué tan pequeña es una bola unitaria?". Mathematics Magazine . 62 (2): 101– 107. doi : 10.1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 .
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Gruber, Peter M. (1982). "Isometrías del espacio de cuerpos convexos contenidos en una bola euclidiana". Israel Journal of Mathematics . 42 (4): 277– 283. doi : 10.1007/BF02761407 . S2CID 119483499 .