Grupo resoluble

La extensión de campo de Galois más pequeña de${\displaystyle \mathbb {Q} }$que contiene el elemento

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

da un grupo resoluble. Las extensiones de campo asociadas

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

dar un grupo resoluble de extensiones de Galois que contenga los siguientes factores de composición (donde${\displaystyle 1}$es la permutación identidad).

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción de grupo${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$con acción de grupo${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2^{n}im\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$que contiene las quintas raíces de la unidad excluyendo${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$con acción de grupo${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$y polinomio mínimo${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

Cada una de las acciones grupales definitorias (por ejemplo,${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$) cambia una sola extensión mientras mantiene todas las demás extensiones fijas. Las 80 acciones de grupo son el conjunto${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$.

Este grupo no es abeliano . Por ejemplo,${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$, mientras${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$y de hecho,${\displaystyle jh=hj^{3}}$.

Es isomorfo a${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _ {\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$, dónde${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$, definido utilizando el producto semidirecto y el producto directo de los grupos cíclicos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _ {4}}$no es un subgrupo normal.

El ejemplo básico de grupos resolubles son los grupos abelianos. Son trivialmente resolubles, ya que una serie subnormal se forma simplemente con el grupo mismo y el grupo trivial. Sin embargo, los grupos no abelianos pueden ser resolubles o no.

En términos más generales, todos los grupos nilpotentes son resolubles. En particular, los p -grupos finitos son resolubles, ya que todos los p- grupos finitos son nilpotentes.

Las extensiones de grupo forman los ejemplos prototípicos de grupos resolubles. Es decir, si${\displaystyle G}$y${\displaystyle G'}$son grupos resolubles, entonces cualquier extensión

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

define un grupo resoluble${\displaystyle G''}$De hecho, todos los grupos resolubles pueden formarse a partir de dichas extensiones de grupos.

A small example of a solvable, non-nilpotent group is the symmetric groupS₃. In fact, as the smallest simple non-abelian group is A₅, (the alternating group of degree 5) it follows that every group with order less than 60 is solvable.

The Feit–Thompson theorem states that every finite group of odd order is solvable. In particular this implies that if a finite group is simple, it is either a prime cyclic or of even order.

The group S₅ is not solvable—it has a composition series {E, A₅, S₅} (and the Jordan–Hölder theorem states that every other composition series is equivalent to that one), giving factor groups isomorphic to A₅ and C₂; and A₅ is not abelian. Generalizing this argument, coupled with the fact that A_n is a normal, maximal, non-abelian simple subgroup of S_n for n > 4, we see that S_n is not solvable for n > 4. This is a key step in the proof that for every n > 4 there are polynomials of degree n which are not solvable by radicals (Abel–Ruffini theorem). This property is also used in complexity theory in the proof of Barrington's theorem.

Consider the subgroups

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ of ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

for some field ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Then, the group quotient ${\displaystyle B/U}$ can be found by taking arbitrary elements in ${\displaystyle B,U}$, multiplying them together, and figuring out what structure this gives. So

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Note the determinant condition on ${\displaystyle GL_{2}}$ implies ${\displaystyle ac\neq 0}$, hence ${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$ is a subgroup (which are the matrices where ${\displaystyle b=0}$). For fixed ${\displaystyle a,b}$, the linear equation ${\displaystyle ad+b=0}$ implies ${\displaystyle d=-b/a}$, which is an arbitrary element in ${\displaystyle \mathbb {F} }$ since ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$. Since we can take any matrix in ${\displaystyle B}$ and multiply it by the matrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

with ${\displaystyle d=-b/a}$, we can get a diagonal matrix in ${\displaystyle B}$. This shows the quotient group ${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$.

For a linear algebraic group${\displaystyle G}$, a Borel subgroup is defined as a subgroup which is closed, connected, and solvable in ${\displaystyle G}$, and is a maximal possible subgroup with these properties (note the first two are topological properties). For example, in ${\displaystyle GL_{n}}$ and ${\displaystyle SL_{n}}$Los grupos de matrices triangulares superiores o inferiores son dos de los subgrupos de Borel. El ejemplo dado anteriormente, el subgrupo${\displaystyle B}$en${\displaystyle GL_{2}}$, es un subgrupo de Borel.

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p -Sylow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular resoluble. Dichos grupos se denominan grupos Z.

Como medida de fortalecimiento de la solubilidad, un grupo G se denomina supersoluble si posee una serie normal invariante cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene longitud finita por definición, los grupos no numerables no son supersolubles. De hecho, todos _los grupos supersolubles son finitamente generados , y un grupo abeliano es supersoluble si y solo si es finitamente generado. El grupo alternante A₄ es un ejemplo de un grupo finitamente resoluble que no es supersoluble.

Si nos restringimos a grupos generados finitamente, podemos considerar la siguiente disposición de clases de grupos:

cíclico < abeliano < nilpotente < supersoluble < policíclico < soluble < grupo finitamente generado .

Un grupo G se denomina virtualmente resoluble si tiene un subgrupo resoluble de índice finito. Esto es similar a virtualmente abeliano . Claramente, todos los grupos resolubles son virtualmente resolubles, ya que basta con elegir el grupo mismo, que tiene índice 1. Los grupos virtualmente resolubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tits sobre grupos lineales finitamente generados .

Un grupo resoluble es aquel cuya serie derivada alcanza el subgrupo trivial en una etapa finita . Para un grupo infinito, la serie derivada finita puede no estabilizarse, pero la serie derivada transfinita siempre se estabiliza. Un grupo cuya serie derivada transfinita alcanza el grupo trivial se denomina grupo hipoabeliano , y todo grupo resoluble es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α tal que G ^{( α )} = G ^{( α +1)} se denomina longitud derivada (transfinita) del grupo G , y se ha demostrado que todo ordinal es la longitud derivada de algún grupo ( Malcev 1949 ) .

Un grupo finito es p-resoluble para algún primo p si cada factor en la serie de composición es un p-grupo o tiene orden primo a p. Un grupo finito es resoluble si y solo si es p-resoluble para todo p. ^{[ 4 ]}