Teorema del alma

En matemáticas , el teorema del alma es un teorema de geometría riemanniana que reduce considerablemente el estudio de las variedades completas de curvatura seccional no negativa al caso compacto . Jeff Cheeger y Detlef Gromoll demostraron el teorema en 1972 generalizando un resultado de Gromoll y Wolfgang Meyer de 1969. La conjetura del alma relacionada , formulada por Cheeger y Gromoll en aquel entonces, fue demostrada veinte años después por Grigori Perelman .

El teorema del alma de Cheeger y Gromoll establece: ^{[ 1 ]}

Si ( M , g ) es una variedad riemanniana completa , conexa y no compacta con curvatura seccional no negativa , entonces existe una subvariedad cerrada , totalmente convexa y totalmente geodésica incrustada cuyo fibrado normal es difeomorfo a M .

Dicha subvariedad se denomina alma de ( M , g ) . Por la ecuación de Gauss y la geodesia total, la métrica riemanniana inducida en el alma tiene automáticamente una curvatura seccional no negativa. Gromoll y Meyer habían estudiado previamente el caso de curvatura seccional positiva, donde demostraron que un alma está dada por un único punto y, por lo tanto, que M es difeomorfa al espacio euclidiano . ^{[ 2 ]}

Ejemplos muy sencillos, como los que se muestran a continuación, demuestran que el alma no está determinada unívocamente por ( M , g ) en general. Sin embargo, Vladimir Sharafutdinov construyó una retracción 1-Lipschitz de M a cualquiera de sus almas, demostrando así que cualesquiera dos almas son isométricas . Esta aplicación se conoce como la retracción de Sharafutdinov . ^{[ 3 ]}

Cheeger y Gromoll también plantearon la pregunta inversa de si existe una métrica riemanniana completa de curvatura seccional no negativa en el espacio total de cualquier fibrado vectorial sobre una variedad cerrada de curvatura seccional positiva. ^{[ 4 ]} Actualmente se sabe que la respuesta es negativa, aunque la teoría de existencia no se comprende completamente. ^{[ 5 ]}

Ejemplos.

• Como se desprende directamente de la definición, toda variedad compacta es una entidad propia. Por esta razón, el teorema suele enunciarse únicamente para variedades no compactas.
• Como ejemplo muy simple, tomemos M como un espacio euclidiano R ⁿ . La curvatura seccional es 0 en todas partes, y cualquier punto de M puede servir como alma de M .
• Ahora tomemos el paraboloide M = {( x , y , z )  : z = x ² + y ² }, donde la métrica g es la distancia euclidiana ordinaria que proviene de la incrustación del paraboloide en el espacio euclidiano R ³ . Aquí la curvatura seccional es positiva en todas partes, aunque no constante. El origen (0, 0, 0) es un alma de M . No todos los puntos x de M son un alma de M , ya que puede haber bucles geodésicos con base en x , en cuyo caso${\displaystyle \{x\}}$no sería totalmente convexo. ^{[ 6 ]}
• También se puede considerar un cilindro infinito M = {( x , y , z )  : x ² + y ² = 1 }, nuevamente con la métrica euclidiana inducida. La curvatura seccional es 0 en todas partes. Cualquier círculo "horizontal" {( x , y , z )  : x ² + y ² = 1 } con z fijo es un alma de M. Las secciones transversales no horizontales del cilindro no son almas, ya que no son ni totalmente convexas ni totalmente geodésicas. ^{[ 7 ]}

Como se mencionó anteriormente, Gromoll y Meyer demostraron que si g tiene curvatura seccional positiva, entonces el alma es un punto. Cheeger y Gromoll conjeturaron que esto se cumpliría incluso si g tuviera curvatura seccional no negativa, requiriéndose la positividad solo de todas las curvaturas seccionales en un único punto. ^{[ 8 ]} Esta conjetura del alma fue demostrada por Grigori Perelman , quien estableció el hecho más poderoso de que la retracción de Sharafutdinov es una submersión riemanniana , e incluso una submetría . ^{[ 5 ]}

Fuentes.